Chuyên đề Bất đẳng thức (Nguyễn Tất Thu)

Tham khảo tài liệu chuyên đề bất đẳng thức (nguyễn tất thu), tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Bất đẳng thức (Nguyễn Tất Thu)Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net B T ð NG TH C I. LÝ THUY T1. ð nh nghĩa :Cho a ; b ∈R. M nh ñ “ a > b” ; “a ≥ b” ; “a < b” ; “ a ≤ b” g i là b t ñ ng th c2.Tính ch t :* a > b và b > c ⇒ a > c* a>b⇔a+c>b+c* a > b và c > d ⇒ a + c > b + d ac > bc khi c > 0* a>b⇒ ac < bc khi c < 0* a >b≥0⇒ a > b* a ≥ b ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ b2* a > b ≥ 0 ⇒ an > bn 3. B t ñ ng th c v giá tr tuy t ñ i* | x |< a ⇔ −a < x < a ( V i a > 0 ) x > a* | x |> a ⇔  ( V i a > 0)  x < −a4. B t ñ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân ( Bñt Cauchy) a+ba) Cho a, b ≥ 0 , ta có ≥ ab . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b 2H qu :*. Hai s dương có t ng không ñ i thì tích l n nh t khi 2 s ñó b ng nhau *. Hai s dương có tích không ñ i thì t ng nh nh t khi 2 s ñó b ng nhau a+b+c 3b) Cho a, b, c ≥ 0 , ta có ≥ abc . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b = c 35. Phương pháp ch ng minh b t ñ ng th cI. Phương pháp bi n ñ i tương ñươngð ch ng minh BðT d ng A ≥ B ta thư ng dùng các cách sau :Cách 1 : Ta ch ng minh A − B ≥ 0 . ð là ñi u này ta thư ng s d ng các h ng ñ ngth c ñ phân tích A − B thành t ng ho c tích c a nh ng bi u th c không âm.Chú ý : M t s k t qu ta thư ng hay s d ng* x 2 ≥ 0 ∀x và x 2 = 0 ⇔ x = 0 ; | x |≥ 0 ∀x và | x |= 0 ⇔ x = 0* a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 . ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 0 .Ví d 1 : Cho hai s th c a, b . Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 ≥ 2ab .Gi i : Ta có a 2 + b 2 − 2ab = (a − b)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2ab . ð ng th c có ⇔ a = b .Ví d 2 : Cho ba s th c a, b, c . Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (I).Gi i : Ta có : a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc + ca ) = 1 1 1= ( a 2 − 2ab + b 2 ) + (b 2 − 2bc + c 2 ) + (c 2 − 2ca + a 2 ) 2 2 2Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng NaiNguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1= (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 2ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c .Ví d 3 : Cho 5 s th c a, b, c, d , e . Cmr : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) .Gi i :Ta có : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2=( − ab + b 2 ) + ( − ac + c 2 ) + ( − ad + d 2 ) + ( − ae + e2 ) 4 4 4 4 a a a a= ( − b) 2 + ( − c) 2 + ( − d ) 2 + ( − e) 2 ≥ 0 ⇒ ñpcm. 2 2 2 2 að ng th c x y ra ⇔ b = c = d = e = . 2Nh n xét :1) BðT Ví d 3 cũng ñúng v i n s th c 1 ≤ n ≤ 5 , còn n ≥ 6 thì không còn ñúngn a, t c là BðT a1 + a2 + ... + an ≥ ai (a1 + ... + ai −1 + ai +1 + ... + an ) ñúng v i n s 2 2 2th c ⇔ n ≤ 5 .2) S d ng hàng ñ ng th c ( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca thì ta có thvi t BðT (1) dư i các d ng sau : ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca ) (II) . 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 (III)Các BðT (I), (II), (III) có nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT, ta xét các bài toánsau :Bài toán 1.2 : Cho ba s th c dương a, b, c . Ch ng minh BðT sau a 3 b3 c 3 + + ≥ a + b + c (1) (Vô d ch Toán Canaña 2002) bc ca abGi i : BðT (1) ⇔ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc( a + b + c) (2)Áp d ng (I) hai l n ta có :a 4 + b 4 + c 4 = (a 2 )2 + (b 2 )2 + (c 2 )2 ≥ a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≥≥ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc(a + b + c) ⇒ ñpcm.Nh n xét : * N u ta cho abc = 1 thì (2) tr thành : a 4 + b 4 + c 4 ≥ a + b + c ñây là bàitoán 3 ñ thi HSG t nh ð ng Nai l p 11 năm 2005.* N u ta cho a + b + c = 1 thì (2) tr thành : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abcBài toán 2.2 : Cho các s th c dương x, y, z > 0 có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng 4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 21 .Gi i : Áp d ng BðT (III) v i a = 4 x + 1, b = 4 y = 1, c = 4 z + 1 ta cóVT = a + b + c ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 3(4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1) = 21 1ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = . 3Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng NaiNguy n T t Thu http://www.toanthpt.netBài toán 3.2: G i p là chu vi tam giác ABC. Cmr : p − a + p − b + p − c ≤ 3p .Gi i : Áp d ng BðT (I ...