Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 (Phần ứng dụng đạo hàm)

Tài liệu cung cấp các định lí thường gặp về ứng dụng đạo hàm và các câu hỏi thi học sinh giỏi hay của các tỉnh giúp bạn ôn thi học sinh giỏi lớp 12 cũng như ôn thi đại học rất hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 (Phần ứng dụng đạo hàm) Chuyên đề I: Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Các Bài Toán Đại SốI.Các vài toán liên quan đến nghiệm của pt-bpt:Định lí 1: Số nghiệm của pt f(x)=g(x) chính là số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) vày=g(x)Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) lt trên D và m = min f ( x) , M = M∈ax f ( x) thì pt: f(x)=k có x∈D x Dnghiệm khi và chỉ khi m≤k ≤MĐịnh lí 3: Bất phương trình f ( x) ≥ g ( x) nghiệm đúng mọi x thuộc D khi và chỉ khiMin f ( x) ≥ Max g ( x)x∈ D x∈ DCác ví dụ:Bài 1:Tìm m để pt sau có nghiệm: x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m (HSG Nghệ an 2005)Lời giải: Xét hàm số f ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có tập xác định là D=R 2x + 1 2x − 1f(x) = − ⇒ f( x) = 0 ⇔ 2 x2 + x + 1 2 x2 − x + 1(2x + 1) x2 − x + 1 = ( 2x − 1) x2 + x + 1 (1) 2 2  1 1 3  1 1 3⇒  x +  [(x - )2 + ] =  x −  [(x + )2 + ] ⇔ x = 0 thay vaø (1)ta thaá khoâg o y n  2 2 4  2 2 4thoû maõ. Vaä f(x)= voâ a n y 0 nghieä , maø m f(0)= 0, do ñoù 1> f(x)> ∀x ∈ R 0 2xMaëkhaù: Limf(x) =Lim t c = 1 Limf(x) = −1 ; x→ +∞ 2 2 x→ +∞ x + x + 1+ x − x + 1 x→−∞ y cho nghieä ⇔ -1< m < 1Vaä pt ñaõ coù mBài 2:Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax 2 + 1 = cos x có đúng một nghiệm  πx ∈  0;   2(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương Lớp 12 năm 2005)Giải: Ta thấy để pt có nghiệm thì a ≤ 0 x sin2Khi ñoù ⇔ pt cosx − 1 = ⇔ a 2 = -2a. Xeùhaø soá (t = sint vôùt ∈  0; π  t m f ) i  2 2  x  x t  4    2 t t− sint cost t- t ) .cos ( gt  π  πta coù (t = f ) = < 0 vôù∀t∈  0;  ⇒ f(t ngb treâ  0;  i ) n t2 t2  4  4 x sin2 π 2 2 2 2 8 2 < 1 ∀x∈ (0; π )Maø )= f( vaøLi f(t = 1⇒ m ) < f(t < 1 ⇒ 2 < ) 4 π → t 0 π π  x 2 2    2 π 8 1 4Vaä pt ñaõ coù ng 1 nghieä x∈ (0; ) ⇔ 2 < −2a < 1⇔ − < a < − 2 y cho ñuù m 2 π 2 π 6 5 4 3 2Bài 3: Cho phương trình x + 3x − 6x − ax − 6x + 3x + 1= 0 . Tìm tất cả các giátrị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. (HSG Nam Định2004)Giải: Vì x = 0không phải là nghiệm pt. Chia hai vế pt cho x3 ta được 1 1 1 1(x3 + 3 ) + 3(x2 + 2 ) − 6(x + ) − a= (1 Ñaët= + ta thu ñöôï pt 0 ). t x c x x x x(2 2 3 2tt − 3) + 3(t − 2) − 6t= a ⇔ t + 3t − 9t= a + 6 (1)Töø ch ñaët ta coùx2 − t + 1= 0 (2)pt naø coù = 2 - 4 ≥ 0 ⇔ t ≥ 2. Töø y ta coù caù t : x y ∆ t ñaâ*Neá t= ±2 thì pt ñaõ coù t nghieä u cho moä m*Neá t > 2 thì vôùmoãgiaù cuû tcho töông öùg hai giaù cuû x u i i trò a n trò aNeâ pt (1) coù ng hai ngh ...