Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán sau đây gồm 268 bài tập tự luận về bất đẳng thức và hệ phương trình giúp các em học sinh thử sức mình với các dạng bài tập khác nhau.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toánchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc CHUYÊNĐỀBỒIDƯỠNGHỌCSINHGIỎI PHẦNI:ĐỀBÀI1.Chứngminh 7 làsốvôtỉ.2.a)Chứngminh:(ac+bd)2+(ad–bc)2=(a2+b2)(c2+d2)b)ChứngminhbấtdẳngthứcBunhiacôpxki:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)3.Chox+y=2.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:S=x2+y2. a+b4.a)Choa≥0,b≥0.ChứngminhbấtđẳngthứcCauchy: ab . 2 bc ca abb)Choa,b,c>0.Chứngminhrằng: + + a+b+c a b cc)Choa,b>0và3a+5b=12.TìmgiátrịlớnnhấtcủatíchP=ab.5.Choa+b=1.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:M=a3+b3.6.Choa3+b3=2.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:N=a+b.7.Choa,b,clàcácsốdương.Chứngminh:a3+b3+abc≥ab(a+b+c)8.Tìmliênhệgiữacácsốavàbbiếtrằng: a + b > a − b9.a)Chứngminhbấtđẳngthức(a+1)2≥4ab)Choa,b,c>0vàabc=1.Chứngminh:(a+1)(b+1)(c+1)≥810.Chứngminhcácbấtđẳngthức: a)(a+b)2≤2(a2+b2) b)(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)11.Tìmcácgiátrịcủaxsaocho: a)|2x–3|=|1–x| b)x2–4x≤5 c)2x(2x–1)≤2x–1.12.Tìmcácsốa,b,c,dbiếtrằng:a +b +c +d =a(b+c+d) 2 2 2 213.ChobiểuthứcM=a2+ab+b2–3a–3b+2001.VớigiátrịnàocủaavàbthìMđạtgiátrịnhỏnhất?Tìmgiátrịnhỏnhấtđó.14.ChobiểuthứcP=x2+xy+y2–3(x+y)+3.CMRgiátrịnhỏnhấtcủaPbằng0.15.Chứngminhrằngkhôngcógiátrịnàocủax,y,zthỏamãnđẳngthứcsau: x2+4y2+z2–2a+8y–6z+15=0 116.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: A = x − 4x + 9 217.Sosánhcácsốthựcsau(khôngdùngmáytính): a) 7 + 15 và 7 b) 17 + 5 + 1 và 45 23 − 2 19 c) và 27 d) 3 2 và 2 3 318.Hãyviếtmộtsốhữutỉvàmộtsốvôtỉlớnhơn 2 nhưngnhỏhơn 319.Giảiphươngtrình: 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 − 2x − x 2 .20.TìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthứcA=x2yvớicácđiềukiệnx,y>0và2x+xy=4. 1 1 1 121.Cho S = + + .... + + ... + . 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1 1998HãysosánhSvà 2. . 1999http://kinhhoa.violet.vn 1chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc22.Chứngminhrằng:Nếusốtựnhiênakhôngphảilàsốchínhphươngthì a làsốvôtỉ.23.Chocácsốxvàycùngdấu.Chứngminhrằng: x y a) + 2 y x �x 2 y 2 � �x y � b) � 2 + 2 � −� + � 0 �y x � �y x � �x 4 y 4 � �x 2 y 2 � �x y � c) � 4 + 4 � − � + �+ � + � 2 . �y x � �y 2 x 2 � �y x � 24.Chứngminhrằngcácsốsaulàsốvôtỉ: a) 1 + 2 3 b) m + vớim,nlàcácsốhữutỉ,n≠0. n 25.Cóhaisốvôtỉdươngnàomàtổnglàsốhữutỉkhông? x 2 y2 �x y � 26.Chocácsốxvàykhác0.Chứngminhrằng: 2 + 2 + 4 3 � + �. y x �y x � 2 2 2 x y z x y z 27.Chocácsốx,y,zdương.Chứngminhrằng: 2 + 2 + 2 + + . y z x y z x 28.Chứngminhrằngtổngcủamộtsốhữutỉvớimộtsốvôtỉlàmộtsốvôtỉ. 29.Chứngminhcácbấtđẳngthức: a)(a+b)2≤2(a2+b2) b)(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2) c)(a1+a2+…..+an)2≤n(a12+a22+…..+an2). 30.Choa3+b3=2.Chứngminhrằnga+b≤2. 31.Chứngminhrằng: [ x ] + [ y ] [ x + y] . 1 32.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: A = . x − 6x + 17 2 x y z 33.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa: A = + + vớix,y,z>0. y z x 34.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa:A=x2+y2biếtx+y=4. 35.Tìmgiátrịlớnnhấtcủa:A=xyz(x+y)(y+z)(z+x)vớix,y,z≥0;x+y+z=1. 36.Xétxemcácsốavàbcóthểlàsốvôtỉkhôngnếu: a a)abvà làsốvôtỉ. b a b)a+bvà làsốhữutỉ(a+b≠0) b c)a+b,a2vàb2làsốhữutỉ(a+b≠0) 37.Choa,b,c>0.Chứngminh:a3+b3+abc≥ab(a+b+c) a b c d 38.Choa,b,c,d>0.Chứngminh: + + + 2 b+c c+d d+a a +bhttp://kinhhoa.violet.vn ...