Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đa thức

Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đa thức nhằm mục tiêu cung cấp các lý thuyết chung về đa thức, vận dụng lý thuyết giải một số dạng toán về đa thức thường gặp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đa thức CHUYÊNĐỀBỒIDƯỠNGHỌCSINHGIỎITOÁN ĐATHỨCPHẦNI:MỤCTIÊU Cungcấpcáclýthuyếtchungvềđathức Vậndụnglýthuyếtgiảimộtsốdạngtoánvềđathứcthườnggặptrongcôngtác bồidưỡnghọcsinhgiỏi.PHẦNII:LÝTHUYẾTCHUNGVỀĐATHỨC I. CÁCĐỊNHNGHĨA1/ĐathứcP(x)bậcnlàhàmđượcxácđịnhnhưsau: P(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0Trongđóa0,a1,…,anlàcáchằngsốchotrướcvà an 0Khiđóa0,a1,…,anđượcgọilàcáchệsốcủađathứcNgườitadùngdegP(x)đểkíhiệubậccủađathứcP(x) Nếuailàcácsốnguyên ∀i = 0, n thìP(x)gọilàđathứcvớihệsốnguyên Nếuailàcácsốhữutỉ ∀i = 0, n thìP(x)gọilàđathứcvớihệsốhữutỉ. 2/Sốx0đượcgọilànghiệmcủađathứcP(x)nếuP(x0)=0 3/ChohaiđathứcP(x)vàQ(x).TanóirằngP(x)chiahếtchoQ(x)nếutồntạiđathức h(x)saochoP(x)=h(x).Q(x).KhiđóđathứcQ(x)làướccủađathứcP(x). 4/HaiđathứcP(x)vàQ(x)đượcgọilànguyêntốcùngnhaunếuP(x)vàQ(x)khôngcó ướcchungbậcdương 5/Choklàmộtsốnguyêndương.Sốx0đượcgọilànghiệmbộikcủađathứcP(x)nếu nhưđathứcP(x)chiahếtchođathức(x–x0)knhưngkhôngchiahếtchođathức(x– x0)k+1 6/Đathứcnguyênthuỷlàđathứcvớihệsốnguyênvàcáchệsốcủanólànguyêntố cùngnhau. II. CÁCTÍNHCHẤTCƠBẢNCỦAĐATHỨCMệnhđ ề1:GiảsửP(x)vàQ(x)làhaiđathứctuỳý.Đặth(x)=P(x)+Q(x).Khiđóh(x) cũnglàđathứcvà degh(x)=max{degP(x),degQ(x)}nếudegP(x) degQ(x) degh(x) max{degP(x),degQ(x)}nếudegP(x)=degQ(x)Mệnhđ ề2:GiảsửP(x)vàQ(x)làhaiđathứctuỳý.Đặth(x)=P(x).Q(x).Khiđóh(x) cũnglàđathứcvànếu P( x) 0, Q( x) 0 thìdegh(x)=degP(x)+degQ(x).Mệnhđ ề3:GiảsửP(x)=h(x).Q(x),trongđóP(x)vàQ(x)làcácđathứcvớihệsốhữutỉvà Q( x) 0 thìh(x)cũnglàđathứcvớihệsốhữutỉ. ề4:(ĐịnhlýBezout)Sốx0lànghiệmcủađathứcP(x) � P( x) M( x − x0 )Mệnhđ Hệquả1:MọiđathứcP(x)bậcn( n 1 )khôngthểcóquánnghiệm. NếuđathứcP(x)Bậckhôngquánlạicón+1nghiệmthìtấtcảcáchệsốcủa nóbằng0. Hệquả2:NếuP(x)làđathứcmàlạilàhàmtuầnhoànthìP(x) C,vớiClàhằngsố nàođóMệnhđ ề5:(ĐịnhlýViete)GiảsửđathứcP(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0cócác nghiệmx1,x2,…,xn.Khiđótacócácđẳngthứcsau: a x1 + x 2 + + x n = − n −1 an an − 2 x1 x2 + x2 x3 + ... + xn −1 xn = an an −3 x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn − 2 xn −1 xn = − an ... a0 x1 x2 x3 ...xn = (−1) n anMệnhđ ề6:(ĐịnhlýVieteđảo)Nếunhưcácsốthựcx1,x2,…,xnthoảmãnhệ: an −k S k = (−1) k , k = 1, n anKhiđóx1,x2,…,xnlànnghiệmcủađathứcbậcn:P(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0Mệnhđ ề7:(Địnhlývềnghiệmhữutỉcủađathứcvớihệsốnguyên) GiảsửđathứcP(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0làđathứcvớihệsốnguyên,trongđó rn 1 .Khiđó,nếuP(x)cónghiệmhữutỉthìmọinghiệmhữutỉcủaP(x)códạng s ,trongđórlàướccủaa0,slàướccủaanvà(r,s)=1 Hệquả2:NếuđathứcP(x)=xn+an1xn1+…+a1x+a0,trongđóainguyên ∀i = 0, n − 1 .KhiđónếuP(x)cónghiệmhữutỉthìmọinghiệmhữutỉcủaP(x)đềulà sốnguyênvàlàmộttrongcácướcsốcủahệsốa0. III. LƯỢCĐỒHORNER1/TínhgiátrịcủađathứcP(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0khix= α tadùngbảngHorner an an1 an2 … ak … a1 a0 α bn bn1 bn2 … bk … b1 b02/Chiađathứcchonhịthứcbậcnhấtx αNếunhưtrongbảngHornerb0=0thìP( α )=0nênP(x) Mx α IV. CÔNGTHỨCNỘISUYLAGRANGEGiảsửchocácsốkhácnhaub0,b1,…,bnvàcácgiátrịtuỳýc0,c1,…,cn.KhiđótồntạiduynhấtđathứcP(x)cóbậckhôngvượtquánthoảmãncácđẳngthức: P(b0)=c0;P(b1)=c1;…;P(bn)=cnĐathứcnàycódạngnhưsau: ( x − b2 )( x − b3 )...( x − bn ) ( x − b2 )( x − b3 )...( x − bn ) ( x − b1 )( x − b2 )...( x − bn ) P ( x) = c1. + c2 . + ... + cn . (b1 − b2 )(b1 − b3 )...(b1 − bn ) (b2 − b1 )(b2 − b3 )...(b2 − bn ) (bn − b1 )(bn − b2 )...(bn − bn −1 ) V. ĐATHỨCBẤTKHẢQUYĐịnhnghĩa:GiảsửP(x)làđathứcvớicáchệsốhữutỉ.P(x)đượcgọilàbấtkhảquy trênQnếuP(x)khôngbiểudiễnđượcdướidạngtíchcủahaiđathứcbậcdươngvớicác hệsốhữutỉ.Mệnhđ ề8:NếuP(x)làđathứcvớicáchệsốhữutỉthìnócóthểbiểudiễnmộtcách a P( x ) = Q( x)duynhấtdướidạng b a Trongđó: b làphânsốtốigiản Q(x)làmộtđathứcnguyênthuỷBổđ ềGauss:Tíchcủahaiđathứcnguyênthuỷlàmộtđathứcnguyênthuỷ. ...