Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiCHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨCTHÀNH NHÂN TỬ TOÁN 8I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN1. Phương pháp đặt nhân tử chung– Tìm nh}n tử chung l{ những đơn, đa thức có mặt trong tất cả c|c hạng tử.– Ph}n tích mỗi hạng tử th{nh tích của nh}n tử chung v{ một nh}n tử kh|c.– Viết nh}n tử chung ra ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử còn lại của mỗi hạng tử v{o trongdấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).Ví dụ 1h nt hths u th nh nh n t28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức- Dùng c|c hằng đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử.- C n chú đến vi c v n d ng hằng đẳng thức.Ví dụ 2h nt hths u th{nh nh}n tử9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)23. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử– Kết hợp c|c hạng tử thích hợp th{nh từng nhóm.– Áp d ng liên tiếp c|c phương ph|p đặt nh}n tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.Ví dụ 3h nt hW: www.hoc247.netths u th nh nh n tF: www.facebook.com/hoc247.netT: 098 1821 807Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)= ( x2 + 1)( 2x – 3)x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)4. Phối hợp nhiều phương pháp- Chọn c|c phương ph|p theo thứ tự ưu tiên.- Đặt nh}n tử chung.- Dùng hằng đẳng thức.- Nhóm nhiều hạng tử.Ví dụ 4h nt hths u th nh nh n t3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)23x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy == 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)II. PHƯƠNG PHÁP TÁCHT H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)a) C|ch 1 (t|ch hạng tử b c nhất bx):Bước 1: Tìm tích ac, rồi ph}n tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi c|ch.a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = ai + ciBước 3: T|ch bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để ph}n tích tiếp.W: www.hoc247.netF: www.facebook.com/hoc247.netT: 098 1821 807Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiVí dụ 5h}n tí hthứ f(x) = 3x2 + 8x + 4 th{nh nh}n tửHướng dẫn- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 l{ tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)Lời giải3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)= (x + 2)(3x +2)b) C|ch 2 (t|ch hạng tử b c hai ax2)- L{m xuất hi n hi u hai bình phương :f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)= (x + 2)(3x + 2)- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm :f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(3x + 2)f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)c) Cách 3 (t|ch hạng tử tự do c)- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm th{nh hai nhóm:f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)d) C|ch 4 (t|ch 2 số hạng, 3 số hạng)f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)e) C|ch 5 (nhẩm nghi m): Xem ph n III.W: www.hoc247.netF: www.facebook.com/hoc247.netT: 098 1821 807Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiChú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta t|ch như sau :f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)Ví dụ 6h}n tí hthứ f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tửHướng dẫnT thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2 2x Từ ó tần thêm v{ bớt 1 2 = 1 ể xuất hiện hằng ẳng thứLời giảif(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)Ví dụ 7h}n tí hthứ f(x) = 9x2 + 12x – 5 th{nh nh}n tửLời giảiCách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)= (3x – 1)(3x + 5)Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩm nghiệm)3. Đối với đa thức nhiều bi nVí dụ 11a)h nt hths u th nh nh n t2x2 - 5xy + 2y2 ;b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).Hướng dẫna)h nt hthn ytng t nh ph n t hthf(x) = x 2 + bx + c.Ta t h h ng t th 22x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)= (x - 2y)(2x - y)a)h n x t z - x = -(y - z) - (x - y)W: www.hoc247.netv y t t h h ng t th h i uF: www.facebook.com/hoc247.netT: 098 1821 807thVững vàng nền tảng, Khai sáng tương laix2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) == (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)= (x - y)(y - z)(x - z)Chú :1)c}u b) ta có thể t|ch y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))2) Đa thức c}u b) l{ một trong những đa thức có dạng đa thức đặc bi t. Khi ta thay x = y (y= z hoặc z = x) v{o đa thức thì gi| tr của đa thức bằng . Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích bằngc|ch t|ch như trên, ta còn c|ch ph}n tích bằng c|ch x t gi| tr riêng (Xem ph n VII).III. PHƯƠNG PHÁP NHTr ớ hết, tNGHIhú ý ến một ịnh lí qu n trọng s uĐ nh lí : Nếu f(x) có nghi m x = a thì f(a) = . Khi đó, f(x) có một nh}n tử l{ x – a và f(x) cóthể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)Lú ó t| h | số hạng ủ f(x) th{nh | nhóm, mỗi nhóm ều hứ nh}n tử l{ x – a.Cũng ần l u ý rằng, nghiệm nguyên ủthứ , nếu ó, phải l{ một ớ ủ hệ số tự doVí dụ 8h}n tí hthứ f(x) = x3 + x2 + 4 th{nh nh}n tửLời giảiLần l ợt kiểm tr với x = ± 1, ± 2, 4, t thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0 Đ thứ f(x) ómột nghiệm x = –2, do ó nó hứ một nh}n tử l{ x + 2 Từ ó, ...