Chuyên đề ôn thi: Đạo hàm

Tài liệu tham khảo được trích từ nguồn tài liệu ôn thi toán trên các trang web cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi tốt vào các trường Cao đẳng, Đại học đạt kết quả cao
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề ôn thi: Đạo hàm ĐẠO HÀMA. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a ; b ) và x0 ∈ ( a ; b ) , đạo hàm của hàm f ( x ) − f ( x0 ) số tại điểm x0 là : f ( x0 ) = lim . x − x0 x→ x0 1.2. Chú ý : Nếu kí hiệu ∆x = x − x0 ; ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) thì : • f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y f ( x0 ) = lim = lim . x − x0 ∆x → 0 ∆x x→ x0 Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. •2. Ý nghĩa của đạo hàm y = f ( x ) có đồ thị ( C ) 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số f ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) tại M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) . • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) là : • y = f ( x0 ) ×x −x0 ) +y0 ( . 2.2. Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s ( t ) tại thời điểm t0 • là v ( t0 ) = s ( t0 ) . Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q ( t ) tại thời điểm t0 là : I ( t0 ) = Q ( t0 ) . •3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho u = u ( x ) ; v = v ( x ) ; C : là hằng số . ( u ± v ) = u ± v • ⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′ ( u.v ) = u .v + v .u •  C ′ C .u ′  u  u .v − v .u , ( v ≠ 0) ⇒  ÷ = − 2 •  ÷= v2 v u u Nếu y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y′ = yu .u ′ . ′x • x 3.2. Các công thức : ( C)′ = 0 ( x)′ = 1 • ; ( x ) ′ = n.x ( ) ′ = n.u .u′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2) n −1 n −1 n ⇒ un • u′ ( x )′ = 21x , ( x > 0) ⇒ ( u ) = ′ , ( u > 0) • 2u ( sin x ) ′ = cos x ⇒ ( sin u ) ′ = u.′ cos u • ( cos x ) ′ = − sin x ⇒ ( cos u ) ′ = −u ′.sin u • u′ 1 ( tan x ) ′ = ⇒ ( tan u ) ′ = • cos 2 x cos 2 u u′ 1 ( cot x ) ′ = − 2 ⇒ ( cot u ) ′ = − 2 . • sin x sin u4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : 63 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là : • df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) .∆x . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) thì tích f ′ ( x ) .∆x được gọi là vi phân của hàm số • y = f ( x ) . Kí hiệu : df ( x ) = f ′ ( x ) .∆x = f ′ ( x ) .dx hay dy = y′.dx . 4.2. Công thức tính gần đúng : f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) .∆x .5. Đạo hàm cấp cao 5.1. Đạo hàm cấp 2 : Định nghĩa : f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′ •   Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f ( t ) tại thời điểm t0 là a ( t0 ) = f ′′ ( t0 ) • . ′ f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2) . ...