Chuyên đề ôn thi: Số phức

Nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập được tốt hơn mời các bạn tham khảo Chuyên đề ôn thi về Số phức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề ôn thi: Số phức CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả i 2 = –1. Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.  Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b và i 2 = –1}. Ta có  .  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a   Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i  Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. II> Số phức bằng nhau: a  a  Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z   b  b  VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 2 x  3  2 y  1 x  y  2 x  2 (1)     3 y  1  3 x  7 x  y  2 y  0 III> Biểu diễn hình học của số phức:  Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.  VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: z A = 1 + 4 i , z B = –3 + 0. i , zC = 0 –2 i , z D = 4 – i IV> Môđun của số phức:  Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt   phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2  VD: z = 3 – 4 i có z  3  4i  32  (4) 2 = 5 2  Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2  a 2  b 2  z V> Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z  a  bi .z = a + bi  z = a - bi ; z  z, z = z* Chú ý( Z n )  ( Z ) n ; i  i;i  i  Z là số thực  Z  Z  Z là số ảo  Z   Z* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R) Z  OM  a 2  b 2  z.z Chú ý: Z Z  z  C  Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. VI> Cộng, trừ số phức:  Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i  Cho z  a  bi và z  a  b i . Ta có z ± z = (a ± a)+ (b ± b)i  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. VII> Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z  a  bi và z  a  b i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i 2 = –1 và rút gọn, ta được: z.z = a.a - b.b + (a.b + a.b)i  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z 2  z. z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a 2 + b 2 = zGv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 2  VD: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. z 2 + 4 = z 2 – (2i ) 2 = (z – 2 i )(z + 2 i ).  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. VIII> Phép chia số phức: 1 z 1 a - bi  Số nghịch đảo của số phức z  a  bi  0 là z -1 = = 2 hay = 2 z z a + bi a + b 2 z z .z a + bi (a + bi)(a - bi)  Cho hai số phức z  a  bi  0 và z  a  b i thì  2 hay = z z a + bi a 2 + b2  VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . i i (2  2i ) 2  2i 1 1 Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z =  z z  z  i 2  2i 44 8 4 4 IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N  i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i  VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2  2i )13 6 z  (2  2i ) 2  (2  2i )  (8i )6 (2  2i )  86.2  86.2i  219  219 i   Phần thực a = 219 , phần ảo b = 2192.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC. 1) Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2 ...