Chuyên đề: Phương tích và ứng dụng

Chuyên đề "Phương tích và ứng dụng" được biên soạn với các nội dung: Cơ sở lý thuyết, ứng dụng phương tích giải một số bài tập hình học phẳng, bài tập đề nghị. Để nắm vững hơn nội dung kiến thức chuyên đề mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Phương tích và ứng dụngTRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IXCHUYÊN ĐỀPHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNGNguyễn Quỳnh, Chuyên Hùng Vương, Phú ThọĐào Văn Lương, Chuyên Lào CaiHoàng Thông, Chuyên Lê Quý Đôn, Điện BiênHÒA BÌNH, THÁNG 8 NĂM 2013MỤC LỤCTrangPhần ACơ sở lý thuyết21.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn22.Trục đẳng phương của hai đường tròn33.Tâm đẳng phương của ba đường tròn5Ứng dụng phương tích giải một số bài tập hình học phẳng71.Các bài tập sử dụng tính chất của phương tích72.Các bài tập sử dụng tính chất của trục đẳng phương103.Các bài tập sử dụng tính chất của tâm đẳng phương23Bài tập đề nghị281.Đề bài282.Lời giải30Tài liệu tham khảo40Phần BPhần CTrang 1PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn1.1 Bài toánCho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắtđường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó MA.MB = MO 2 − R 2 = d 2 − R 2 .Chứng minhABMOCGọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB ⊥ AM hay B là hình chiếu của C trên AM.()(Khi đó ta có MA.MB = MA.MB = MC.MA = MO + OC MO + OA()()2= MO − OA MO + OA = MO − OA)2= OM 2 − OA2 = d 2 − R 2 .1.2 Định nghĩaĐại lượng không đổi MA.MB = d 2 − R 2 trong Bài toán 1.1 được gọi là phương tích củađiểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu PM/(O). Ta có:PM / ( O ) = MA.MB = d 2 − R 2 .1.3 Tính chất1.3.1 Tính chất 1Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O ) khi và chỉ khi PM / (O ) > 0.Điểm M nằm trên đường tròn (O ) khi và chỉ khi PM / (O ) = 0.Điểm M nằm bên trong đường tròn (O ) khi và chỉ khi PM / (O ) < 0.Trang 21.3.2 Tính chất 2Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( O; R ) và một điểm M nằm bên ngoài (O ). Qua Mkẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới (O ). Khi đóMA.MB = MT 2 = OM 2 − R 2 .1.3.3 Tính chất 3Cho hai đường thẳng AB, CD phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng A, B, C , D ). Khiđó, nếu MA.MB = MC .MD thì bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường tròn.1.3.4 Tính chất 4Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng A, B, T ). Khiđó, nếu MA.MB = MT 2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T .1.4 Phương tích trong hệ tọa độ DescartesTrong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường tròn(C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0.Đặt F ( x; y ) = x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c, khi đó22PM / (O1 ) = F ( x0 ; y0 ) = x0 + y0 + 2ax0 + 2by0 + c.2. Trục đẳng phương của hai đường tròn2.1 Định lý và định nghĩaCho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có phươngtích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi làtrục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2).Chứng minhGiả sử điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn đã cho.Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có:2⇔ ( MH 2 + HO12 ) − ( MH 2 + HO2 2 ) = R12 − R22⇔ HO12 − HO2 2 = R12 − R2 .(⇔ HO1 − HO2)( HO + HO ) = R12212− R2Trang 3MIO1O2H2R12 − R2.⇔ O2O1.2 HI = R − R ⇔ IH =2O1O22122Do H cố định, suy ra tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn làđường thẳng qua H và vuông góc với O1O2.2.2 Tính chấtCho hai đường tròn (O1) và (O2). Từ định lý 2.1 ta có các tính chất sau:2.2.1 Tính chất 1Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm.2.2.2 Tính chất 2Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.2.2.3 Tính chất 3Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông gócvới O1O2 là trục đẳng phương của hai đường tròn.2.2.4 Tính chất 4Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chínhlà trục đẳng phương của hai đường tròn.2.2.5 Tính chất 5Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.2.2.6 Tính chất 6Trang 4 ...