Chuyên đề phương trình – Bất phương trình- Phương trình chứa ẩn ở căn

Trên cơ sở Cấu trúc Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2009 do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành, để có tài liệu học tập và luyện thi,tài liệu nhằm giúp các em có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào Kì thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề phương trình – Bất phương trình- Phương trình chứa ẩn ở căn Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương trì nh chứa ẩn ở căn thức 2Ví dụ : Giải phương trì nh: 1  x  x2  x  1  x 3Giải: ĐK 0  x  1.Để giải phương trì nh này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cáchnào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vếcủa phương trì nh đã cho luôn không âm nên bì nh phương hai vế ta thu được phươngtrì nh tương đương. 2  2    4 4 2(1)  1  x  x2   x  1 x 1 x  x 2  (x  x 2 )  1  2 x  x 2  3  3 9  2(x  x 2 )  x  x 2  0  x  x 2 2 x  x 2  3  0   x  x2  0   x  0; x  1 3  . 2  VN 0  xx 4 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trì nh: x  0;x  1.Qua lời giải trên ta thấy được x  x 2 sẽ biểu diến được qua x  1  x nhờ vào đẳng   2thức x  1 x  1  2 x  x 2 (*) .Cụ thể nếu ta đặt t  x  1  x thì 2 t2  1 xx  và khi đó phương trì nh đã cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn là 2 t2  1t: 1   t  t 2  3t  2  0  t  1; t  2 . 3  x  1 x 1 2 x  x 2  0Vậy ta có:    x  0; x  1 .  x  1  x  2  VN 0 (VT  2)  Việc thay thế biểu thức x  1  x bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là mộtsuy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tì m cáchlàm mất căn thức !). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày củachúng ta, chẳng hạn khi chúng ta đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thểđổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất cănthức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới saocho phương trì nh ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trì nh ban đầu. Đặtbiểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất,bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở. Đểchọn được được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của cácbiểu thức tham gia trong phương trì nh như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệđó là đẳng thức (*). Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham giaGV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 1 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nhtrong phương trì nh chẳng hạn ở phương trì nh trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mốiquan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trì nh:    2 2 x  1 x  x  1  x  1 (**) mà từ phương trì nh ta rút được một căn thức qua 3 1 x  3 3t  3căn thức còn lại: x  . Do đó nếu đặt t  1  x  x  thay vào 2 1 x  3 2t  3(**) và biến đổi ta thu được phương trì nht(t  1)(2t 2  4t  3)  0  t  0,t  1 hay x  0,x  1 là nghiệm của phương trì nh.Phương trì nh đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏamãn (**) do vậy ta có thể đặt a  x , b  1  x thì từ phương trì nh đã cho kết hợp với  2 1  ab  a  b(**) ta có hệ phương trì nh:  3 đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta a 2  b 2  1 được nghiệm của phương trì nh là x=0 và x=1. Bản chất cách giải này chính là cách đặtẩn phụ t  1  x mà ta đã giải ở trên .Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ?Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác: sin 2   cos 2   1 .Điều này dẫn đến cách giải sau: Đặt x  sin 2 t, t  [0; ] (Điều này hoàn toàn hợp lí vì x  [0;1] ). Khi đó phương trì nh 2đã cho trở thành: 21  sin t.cos t  sin t  cos t  3(1  sin t)  (1  sin t)(1  sin t)(2sin t  3)  0 3 sin t  1  x  1 x  1 x  1   .  3 1  sin t  (3  2sin t) 1  sin t  sin t(4sin 2 t  6sin t  8)  0  x0Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ. Mọiphương pháp đều chung một tưởng đó là tì m cách loại bỏ căn thức và đưa phương trì nhđã cho về phương trì nh mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phươngpháp giải cụ thể.GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 2 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nhI. Phương pháp biến đổi tương đương :Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biếnđổi tương đương của phương trì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phươngtrì nh ban đầu về phương trì nh, bất phương trì nh đã biết các ...