Chuyên đề Phương trình đại số

Tài liệu "Chuyên đề Phương trình đại số" được biên soạn dành cho quý thầy cô cũng như các em học sinh tham khảo phục vụ quá trình học tập và giảng dạy của mình. Hi vọng đây sẽ là tài liệu giúp ích cho các bạn trong học tập và cuộc sống.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Phương trình đại số PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐĐể giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trìnhđó về một trong các dạng đặc biệt đó là:1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:  f ( x ) = 0 F ( x) = 0 ⇔ f ( x ) .g ( x ) = 0⇔  g ( x ) = 0Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng: a 2 − b 2= 0, a 3 − b3= 0,...Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x = a là một nghiệm củaphương trình f ( x ) = 0 thì ta luôn có sự phân tích: f ( x= ) ( x − a ) g ( x ) . Đểdự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:Chú ý:Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng chophương trình bậc bốn.Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cáchxử lý sau: • Phương trình dạng: x 4 = ax 2 + bx + cPhương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: 2mx 2 + m 2 khi đó phươngtrình trở thành: ( x 2 + m)= 2 (2m + a ) x 2 + bx + c + m 2Ta mong muốn vế phải có dạng: ( Ax + B) 2  2m + a > 0⇔ 2 2 ⇒m  ∆= b − 4(2 m + a )( c + m ) = 0THCS.TOANMATH.com • Phương trình dạng: x 4 + ax 3 = bx 2 + cx + d 2  a Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:  x 2 + x + m   2 Bằng cách khai triển biểu thức: 2 2 a  4 3  a2  2 2 x + x + m  =x + ax +  2m +  x + amx + m . Ta thấy cần thêm 2   4   a2  2vào hai vế một lượng:  2m +  x + amx + m 2 khi đó phương trình trở  4 thành: 2 2 a   a2  x + x + m =   2 m + + b  x 2 + (am + c) x + m 2 + d 2   4   a2  2 m + +b > 0  4Bây giờ ta cần:  ⇒m= ? 2  a 2  ∆ = (am + c) − 4 2m + + b ( m + d )= 0 2  VP    4 Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụsau:Ví dụ 1)Giải các phương trình: a) x 4 − 10 x 2 − x + 20 = 0. b) 4 2 x − 22 x − 8 x + 77 = 0 c) x − 6 x + 8 x + 2 x − 1 =0 . 4 3 2 d) x 4 + 2 x3 − 5 x 2 + 6 x − 3 =0.Lời giải:THCS.TOANMATH.com a) x 4 − 10 x 2 − x + 20 = 0 ⇔ x 4 = 10 x 2 + x − 20Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2mx 2 + m 2Khi đó phương trình trở thành: x 4 + 2mx 2 + m 2 = (10 + 2m) x 2 + x + m 2 − 20 9 1 4(m 2 − 20)(10 + 2m) =Ta có ∆VP =− 0⇔m=− . Ta viết lại phương trình 2thành: 2 2 2 9 1  9  1 x4 − 9 x2 +   = x2 + x + ⇔  x2 −  −  x +  = 0 2 4  2  2 −1 ± 17 1 ± 21⇔ ( x 2 − x − 5)( x 2 + x − 4) = 0 ⇒ x = . và x = . 2 2 b) x 4 − 22 x 2 − 8 x + 77 =0 ⇔ x 4 =22 x 2 + 8 x − 77Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2mx 2 + m 2Khi đó phương trình trở thành: 4 2 2 2 2x + 2mx + m = (22 + 2m) x + 8 x + m − 77 .Ta có ∆VP =− 1 4(22 + 2m)(m 2 − 77) =0⇔m=−9 .Ta viết lại phương trình thành: x 4 − 18 x 2 + 81= 4 x 2 + 8 x + 4 ⇔ ( x 2 − 9 ) − ( 2 x + 2 ) = 0 2 2  x =−1 ± 2 2⇔ ( x 2 + 2 x − 7)( x 2 − 2 x − 11) =0 ⇒   x = 1 ± 2 3 c) Phương trình có dạng: 4 3 2 4 3 2 x − 6 x + 8 x + 2 x − 1 =0 ⇔ x − 6 x =−8 x − 2 x + 1Ta tạo ra vế trái dạng: ( x 2 − 3 x + m) 2 = x 4 − 6 x3 + (9 + 2m) x 2 − 6mx + m 2THCS.TOANMATH.comTức ...