đại số tuyến tính - chương 1 số phức

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức.Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
đại số tuyến tính - chương 1 số phức Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng TOÁN 2 Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 1 CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 2 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa: • Dạng đại số của số phức là: = a + i b z Ở đây : a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là Re( z ) b : được gọi là phần ảo của số phức z , Im( z ) ký hiệu là i : được gọi là đơn vị ảo với i 2 = −1 Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 3 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: • Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức. y Ở đây : z b Trục Ox : được gọi là trục thực x O a Trục Oy : được gọi là trục ảo Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là mod ( z ) môđun của số phức z và ký hiệu làz hoặc Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 4 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: z = a − i b được gọi là số phức liên hợp của z • b/ Các phép toán:  z1 = a1 + i b1 Cho hai số phức   z2 = a2 + i b2 a1 = a2 ∗ z1 = z2 ⇔  b1 = b2 z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + i ( b1 + b2 ) ∗ ∗ z1 z2 = ( a1 + i b1 ) ( a2 + i b2 ) x x = ( a1 a2 − b1 b2 ) + i ( a1 b2 + a2 b1 ) Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 5 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp phức với chú ý i 2 = −1 số Dễ nhận thấy z = a + i b thì z. z = a 2 + b 2 a −ib 1 1 và = = ( a + i b) ( a − i b) a+ib z a − b  =2 + i 2 2 a +b  a +b  2 Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 6 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: ( a1 + i b1 ) ( a2 − i b2 ) a1 + i b1 z1 ∗ = = ( a1 + i b1 ) ( a2 − i b2 ) a2 + i b2 z2  a1 a2 + b1 b2   a2 b1 + a1 b2  =  +i   a2 + b2   a2 + b2  2 2 2 2 ( ĐK: z2 ≠ 0 ) Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 7 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau: ∗ z + z = ( a + i b ) + ( a − i b ) = 2 a = 2 Re ( z ) ∗ z − z = ( a + i b ) − ( a − i b ) = 2 i b = 2 i Im( z ) ∗ z1+ z2 = z1 + z2 ∗ z1− z2 = z1 − z2 ∗ z1. z2 = z1. z2  z1  z1 ∗ =  z2  z2 Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 8 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số 1+ 3i z= 1+ i Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 1 − i ta được (1 + 3 i ) (1 − i ) 4 + 2 i z= = = 1+ i (1 + i ) (1 − i ) 2 Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 9 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: VD2: Cho f ( z ) = z 3 − ( 2 + i ) z 2 + ( 2 + i ) z − 2i a/ Tính f ( i ) b/ Giải phương trình f ( z ) = 0 Giải: a/ Dễ dàng tính được f ( i ) = 0 b/ z = i là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được f ( z ) = ( z − i ) ( z 2 − 2 z + 2) = 0 Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 10 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Nhận xét : Phương trình z 2 − 2 z + 2 = 0 có 2 nghiệm là 1 ± i ở đây ∆ = − 1 = i 2 Kết luận : Phương trình f ( z ) = 0 có 3 nghiệm là z = i , z = 1± i Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 11 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:2. Dạng lượng giác của số phức: y a/ Định nghĩa: z bCho số phức z = a + i b , z ≠ 0 rGọi r là khoảng cách từ ϕ x gốc toạ độ O tới z O avà ϕ là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với bán kính vectơ của điểm .z Khi đó ta có : z = a + i b = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) Chương 1: SỐ PHỨCToán 2 Slide 12 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Biểu thức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) được gọi là • dạng lượng giác của số phứcz Ở đây : r = z = a 2 + b 2 ...