Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker

Bài viết này dùng định nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector của Nguyễn Văn Khang và tích Kronecker, đồng thời đưa ra một số định nghĩa cũng như tính chất khác để phân tích động lực học một vật rắn không gian. Nhờ đó, một dạng ma trận mới của các phương trình Newton-Euler sẽ được thiết lập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 196-200, DOI 10.15625/vap.2019000278 Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker Nguyễn Thái Minh Tuấn Bộ môn Cơ học Ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: nguyenthaiminhtuan@yahoo.comTóm tắt  a11B a12 B a1s B Sử dụng tích Kronecker là một cách để lưu trữ các thông tin có a B a B a2 s B nhiều hơn hai chỉ số trong một mảng hai chiều, nhờ đó mà khả A  B =  21 22 . (1)  năng của đại số ma trận được mở rộng. Báo cáo này dùng định  nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector của Nguyễn  ar 1 B ar 2 B ars B Văn Khang và tích Kronecker, đồng thời đưa ra một số địnhnghĩa cũng như tính chất khác để phân tích động lực học một Tích Kronecker có những tính chất sau đây [7-9]vật rắn không gian. Nhờ đó, một dạng ma trận mới của cácphương trình Newton-Euler sẽ được thiết lập. ( A  B)  C = A  (B  C) , (2) ( A  B) = A  B , T T T (3)Từ khóa: Newton-Euler, tích Kronecker, dạng ma trận. A  (B + C) = A  B + A  C , (4) (B + C)  A = B  A + C  A , (5)1. Mở đầu ( A  B)(C  D) = ( AC)  (BD) . (6) Các phép tính ma trận được sử dụng rất phổ biếntrong động lực học hệ nhiều vật bởi sự thuận tiện trong Để các phép tính có thể thực hiện được, trong cácviệc viết các công thức tổng quát. Tuy nhiên, các phép công thức (4) và (5) thì các ma trận B và C phải cùng cỡ,tính căn bản như nhân hoặc cộng các ma trận là không đủ trông công thức (6) thì cỡ của các ma trận phải thỏa mãntrong nhiều trường hợp, nhất là khi ta cần làm việc với điều kiện cần để thực hiện các phép nhân ma trận AC vàcác đạo hàm theo biến vector. BD. Sử dụng tích Kronecker, các nghiên cứu của NguyễnVăn Khang [1-3] trình bày một định nghĩa nhất quán của 2.2. Đạo hàm của hàm ma trận theo biến vectorđạo hàm của hàm ma trận theo biến vector, một số tính Định nghĩa 2. Đạo hàm riêng của một hàm ma trậnchất của phép toán này và dạng ma trận của phương trình matrix A(x) cỡ r  s theo biến vector x cỡ n1 làLagrange loại hai và phương trình Lagrange với nhân tử. một ma trận cỡ r  sn được xác định như sau [1-3]Các kết quả đó giúp cho việc thiết lập các phương trình viphân chuyển động của hệ nhiều vật trở nên tiện lợi hơn, A(x)  a1 a2 as khi các phép tính cần thực hiện đều là các phép tính với = , (7)ma trận, thay vì phải thực hiện với từng phần tử của ma x  x x x trận như khi sử dụng các ký hiệu Christoffel [4]. Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo trong đó a i là cột thứ i của ma trận Abiến vector, tác giả cũng đã đưa ra một dạng mới củaphương trình Lagrange loại hai, trong đó thể hiện rõ các A = a1 a2 as  . (8)thành phần bậc hai [5]. Báo cáo này sẽ xây dựng một dạng ma trận mới củacác phương trình Newton-Euler. Một phần kết quả đã Ta có một số định lý sau đây.được trình bày trước trong phụ lục của luận án của tác giả Định lý 1. [1-3][6]. dA(x) A(x)2. Một số phép tính ma trận A ( x) = = (Es  x) . (9) dt x2. ...