Dạng toàn phương

Dạng toàn phương1. Khái niệm dạng toàn phương: Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến là một hàm bậc hai dạng:với các hệ sốlà các số thực và các biến là các biến thực.Nếu ta ký hiệu: chú ý A là ma trận đối xứng.Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau: Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng toàn phương có dạng ma trận đối xứng. ví dụ 1: Cho hàm bậc hai phương....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dạng toàn phươngDạng toàn phương1. Khái niệm dạng toàn phương:Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến là một hàm bậc hai dạng:với các hệ số là các số thực và các biến là các biến thực.Nếu ta ký hiệu:chú ý A là ma trận đối xứng.Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau:Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạngtoàn phương có dạng ma trận đối xứng.ví dụ 1: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, f(x) là dạng toànphương. Ma trận A có dạng:Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, g(x) làdạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng:1.2 Dạng toàn phương1.2 Dạng toàn phương chính tắc:Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểu thứcxác định không chứa các tích mà chỉ chứa các số hạng bình phươngNghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo. là 1 dạng toàn phương chính tắc.Ví dụ:2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:2.1 Phương pháp ma trận trực giao:Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trậncủa dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽ chuyểnđược dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên ta có A luôn có n giá trị riêng thực, vàcác VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó,nếu P là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéo của A thì ta (trong đó ). Vậy có thể chuyển A về dạng chéocó:, nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc.Định lý:Cho dạng toàn phương , với A là ma trận vuông đối xứng cấp nvới các giá trị riêng và P là ma trận trực giao làm chéo hóa A:Khi đó, bằng cách đổi biến ta đưa dạng toàn phương về dạng chínhtắc sau:Chứng minh:Thật vậy ta đặt :Ta có:Rõ ràngVậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và thựchiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.Ví dụ: Cho dạng toàn phươngMa trận của dạng toàn phương là:Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị riêng là nghiệm kép.Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:Hay ta có hệ phương trình:Từ đó : VTR có dạng: và ta có 2 VTR độc lậptuyến tính là:Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:Hay ta có hệ phương trình:Giải hệ này ta được VTR có dạng: và ta có 1 VTR độc lậptuyến tính là: . Rõ ràng,Chuẩn hóa vectơ ta có:Vậy dạng toàn phương chính tắc là:Và ma trận P có dạng:Và công thức đổi biến là:Hay:Theo PVT