Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Tài liệu "Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình" sau đây sẽ hướng dẫn các em học sinh cách giải các bài tập dạng toán hệ phương trình nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các dạng bài tập của dạng toán này và có cách giải phù hợp, đúng nhất và nhanh nhất, cũng như giúp các em hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trìnhĐ TN PHĐƯA VHNguy n T t Thu12Ví d 1. Gi i phương trình √ √ 3+x+ 6−x=3+L i gi i. Phương trình này chúng ta đã có cách gi i trên. Ta th y v trái c a phương trình trên là t ng c a hai căn th c, còn v ph i ch a tích c a hai căn th c đó và ta nh n th y hai căn th c v trái có quan h t ng bình phương c a chúng b ng 9 (t c là hai căn th c này đã có hai quan h m t là t phương trình đã cho, hai là t ng bình phương b ng 9), do đó n u ta √ √ đ t a = x + 3, b = 6 − x thì ta có đư c h phương trìnhĐây là h đ i x ng lo i I, gi i h này ta đư c (a, b) = (0, 3) ho c (3, 0). • V i a = 3, ta tìm đư c x = 0.• V i a = 0, d dàng tính đư c x = −3. V y phương trình đã cho có hai nghi m là x = 0 và x = −3. Nh n xét. Khi g p phương trình có d ng://oF f (x),nnluy ena + b = 3 + ab a2 + b 2 = 9 a + f (x),mKhi gi i h phương trình nói riêng và gi i toán nói chung, ta thư ng tìm cách làm gi m s n c n tìm. Lúc đó bài toán s d gi i quy t hơn. Tuy nhiên trong nhi u bài toán gi i phương trình thì vi c đưa thêm vào m t s n ph (t c là tăng s n c n tìm lên) l i giúp cho ta gi i quy t bài toán t t hơn.(3 + x)(6 − x).b − f (x) = c,to an .nPHƯƠNG TRÌNHvn(I) ta có th đ t u =na + f (x) và v =mb − f (x) đ đưa bài toán v vi c gi i h phương trình G(u, v) = c un + v m = a + bGi i h này ta tìm đư c u, v. T đó có th suy ra đư c giá tr c a x.htChú ý. Khi tìm đư c u, v đ tìm x ta ch c n gi i m t trong hai phương trình ho c m b − f (x) = v.1 2tpa + f (x) = uTrư ng THPT Lê H ng Phong, thành ph Biên Hòa, t nh Đ ng Nai. Bài vi t đư c trình bày l i b ng chương trình so n th o LaTeX b i can_hang2007. Đ ngh các b n ghi rõ ngu n c a http://onluyentoan.vn khi đăng t i trên các trang web khác.12 Ví d 2. Gi i phương trình √ 3Nguy n T t Thu √ 12 − x = 6. 12. Đ t u = √ 324 + x +L i gi i. Đi√ ki n đ phương trình có nghĩa là x u 3 D th y u 36, v 0. Ta có h phương trình u+v =6 ⇔ u3 + v 2 = 3624 + x và v =v =6−u ⇔ u3 + (6 − u)2 = 36Phương trình u(u2 + u − 12) = 0 có ba nghi m tìm đư c x = −24, x = −88, x = 3.V y phương trình đã cho có ba nghi m x = −24, x = −88, x = 3. Ví d 3. Gi i phương trình L i gi i. Đi u ki n: 0 a+b=3 ⇔ a4 + b4 = 17 x √ 4 17 − x = 3. √ √ 17. Đ t a = 4 x, b = 4 17 − x (a, b √ 4 x+ a+b=32(a + b) − 2abT phương trình th hai c a h phương trình cu i, ta tìm đư c ab = 2 ho c ab = 16. Nghi m a+b 2 = 9 < 16. V y ta ph i có ab = 16 b lo i vì theo gi thi t ta ph i có ab 2 4Gi i h này ta có (a, b) = (1, 2) ho c (2, 1). T đó tính đư c x = 1 ho c x = 16. V y phương trình đã cho có hai nghi m x = 1, x = 16. Ví d 4. Gi i phương trình L i gi i. Đ t y = √ 3 √ x3 + 1 = 2 3 2x − 1. (∗)2x − 1, ta th y y 3 + 1 = 2x. V y ta có h phương trình x3 + 1 = 2y y 3 + 1 = 2xTr hai phương trình c a h , ta đư c x3 − y 3 = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x2 + xy + y 2 + 2) = 0 ⇔ x = y,y 2 2tp :/vì x2 + xy + y 2 + 2 = x +/o nl u+3y 2 4 2 √+ 2 > 0. Thay vào h ta có  x=1 −1 ± x= 2 √htx + 1 = 2x ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = 0 ⇔ √3V y phương trình có ba nghi m x = 1, x = − 1+2 5 , x =ye nt oa n.v =6−u u(u2 + u − 12) = 0 0). Ta có h2√ 3 36 là u = 0, u = 3 và u = −4. T đây ta− 2a b = 172 2⇔a+b=3 a2 b2 − 18ab + 32 = 0a+b=3 ab = 25−1 . 2vn√ 512 − x.Đ t n ph đưa v h phương trình Chú ý.3• Ta có th gi i quy t bài toán trên b ng cách sau: √ √ (∗) ⇔ x3 + 2x = 2x − 1 + 2 3 2x − 1 ⇔ f (x) = f 3 2x − 1 ,v i f (t) = t3 + 2t. D th y f (t) là hàm đ ng bi n trên R nên t trên ta có √ x = 3 2x − 1 ⇔ x3 − 2x + 1 = 0. • D ng t ng quát bài toán trên là f (x)nye nt oa n.+ b = a n af (x) − b.nĐ gi i phương trình này, đ t t = f (x), y =af (x) − b, ta có htn + b = ay y n + b = atĐây là h đ i x ng lo i II v i hai n t và y.• Khi thay a, b, f (x) là các s ta có đư c các bài toán v phương trình. Ví d 5. Gi i phương trình x+3 . 22x2 + 4x = L i gi i. Đi u ki n: x/o nl u−3. Ta có phương trình đã cho tương đương 1 (x + 1) + 2 ⇔ (x + 1)2 − 1 = 2 2t 22(x + 1)2 − 2 = Đ t t = x + 1, y =x+1 2x+1 + 1. 2+1=t + 1, suy ra y 2 − 1 = 2 . V y ta có h  t2 − 1 = y  2  y2 − 1 = t  2Tr t ng v hai phương trình, ta đư c t2 − y 2 =1 2tp :/y−t 1 ⇔ (t − y) t + y + 2 2 = 0.= 0,t đây suy ra t = y ho c t + y + • V it=yht0, ta có h phương trình tương đương  √  t2 − 1 = t 2t2 − t − 2 = 0 1 + 17 2 ⇔ ⇔t= . t = y 0 4 t 0√ 17−3 4V i giá tr t v a tìm đư c này, ta tính đư c x =(th a x−3).vn(II)4Nguy n T t Thu1 • V i y = −t − 2 , h phương trình c a ta tr thành  2  2  √  t+ 1 −1= t   4t + 2t − 3 = 0 1 + 13 2 2 ⇔ . ⇔t=−   t −1 4 1  t − 2 2T đây ta tìm đư c x = − 5+4 13 (th a x√V y phương trình đã cho có hai nghi m là x = Ví d 6. Gi i phương trình√ x2 − x − 100 ...