Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 1

Tài liệu " Đề Thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011"mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong kỳ thi tốt nghiệp phổ thông trung học, cung như Đại học - Cao đẳng sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 1 BAN BIÊN T P DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN L I GI IĐ THI H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2010 – 2011d THÁNG 01 – 2011 BÀI S 1: B T Đ NG TH CBài 1. Cho x là s th c dương và n là s nguyên dương. Ch ng minhb t đ ng th c 2 n+1 x n ( x n+1 + 1) x+1 . xn + 1 2Đ ng th c x y ra khi nào?L i gi i 1. Ta s d ng phương pháp quy n p theo n. V i n = 1, b tđ ng th c c a ta tr thành 3 x( x2 + 1) x+1 . x+1 2Theo b t đ ng th c AM-GM, ta có 2 1 (2 x) + ( x2 + 1) ( x + 1)4 1 x( x + 1) = · (2 x) · ( x2 + 1) 2 . = 2 2 2 8T đó suy ra ( x+1)4 3 x( x2 + 1) x+1 8 . = x+1 x+1 2Và như v y, b t đ ng th c đã cho đúng v i n = 1.Ti p theo, ta s ch ng minh r ng n u b t đ ng th c đúng cho n = k( k ∈ N∗ ) thì nó cũng s đúng v i n = k + 1. Th t v y, theo gi thi t quyn p, ta có 2 k+1 x k ( x k+1 + 1) x+1 , xk + 1 2suy ra 2( k+1)+1 2 2 k+1 2 x k ( x k+1 + 1) x+1 x+1 x+1 x+1 . = · xk + 1 2 2 2 2S d ng đánh giá này, ta th y r ng vi c ch ng minh có th đư c đưav ch ng minh k t qu sau 2 x k ( x k+1 + 1) x k+1 ( x k+2 + 1) x+1 . · xk + 1 x k+1 + 1 2B t đ ng th c này tương đương v i ( x + 1)2 ( x k+2 + 1)( x k + 1) , ( x k+1 + 1)2 4x8 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNhay là ( x + 1)2 ( x k+2 + 1)( x k + 1) −1 − 1. ( x k+1 + 1)2 4xDo ( x + 1)2 − 4 x = ( x − 1)2 và ( x k+2 + 1)( x k + 1) − ( x k+1 + 1)2 = x k ( x − 1)2 nênta có th thu g n b t đ ng th c l i thành ( x − 1)2 x k ( x − 1)2 , ( x k+1 + 1)2 4xtương đương ( x − 1)2 ( x k+1 + 1)2 − 4 x k+1 0.B t đ ng th c này đúng vì theo AM-GM, ta có ( x k+1 + 1)2 4 x k+1 .Như v y, ta đã ch ng minh đư c n u kh ng đ nh bài toán đ ...