Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2

Tham khảo tài liệu đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2 BÀI S 4: TOÁN R I R CBài 4. Cho ngũ giác l i ABCDE có các c nh và hai đư ng chéo AC ,AD có đ dài không vư t quá 3. Trong ngũ giác l i l y 2011 đi mphân bi t b t kì. Ch ng minh r ng t n t i m t hình tròn đơn v cótâm n m trên c nh c a ngũ giác l i ABCDE và ch a ít nh t 403đi m trong s 2011 đi m đã cho.L i gi i. Trư c h t ta ch ng minh b đ sauB đ . Cho đi m I n m trong tam giác X Y Z có đ dài các c nh nhhơn 3. Khi đó, min{ I X , IY , I Z } < 1.Ch ng minh. Th t v y, vì ∠ X IY + ∠Y I Z + ∠ Z I X = 360◦ nên trong bagóc ∠ X IY , ∠Y I Z , ∠ Z I X ph i có m t góc không nh hơn 120◦ . Gi s∠ X IY 120◦ thì trong tam giác I X Y , theo đ nh lý cosin ta có X Y 2 = I X 2 + IY 2 − 2 I X · IY cos ∠ X IY 3 I X 2 + IY 2 + I X · IY 3 min{ I X 2 , IY 2 }.T đây đưa đ n min{ I X , IY } 1. B đ đư c ch ng minh.Quay tr l i bài toán. Theo gi thi t thì các tam giác A BC , A CD , A DE đ u có c ba c nh nh hơn 3, mà m i đi m trong 2011 đi mgieo trong ngũ giác ABCDE đ u thu c mi n trong c a m t trong batam giác này nên theo b đ , m i đi m ph i cách m t đ nh nào đóc a ngũ giác m t kho ng không l n hơn 1. Theo nguyên lý Dirichlet,có m t đ nh c a ngũ giác có kho ng cách không l n hơn 1 đ n ít nh t 2011 = 403 đi m. T đó ta có đi u ph i ch ng minh. 520 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNd BÀI S 5: DÃY S CÓ TÍNH CH T S HCBài 5. Cho dãy s nguyên {a n } xác đ nh b i a 0 = 1, a 1 = −1 và a n = 6a n−1 + 5a n−2 v i m i n 2.Ch ng minh r ng a 2012 − 2010 chia h t cho 2011.L i gi i 1. Xét dãy {b n } đư c xác đ nh như sau b 0 = 1, b 1 = −1 và b n = 6 b n−1 + 2016 b n−2 v i m i n 2.Dãy này có phương trình đ c trưng x2 − 6 x − 2016 = 0có hai nghi m là x = −42 và x = 48. T đây, s d ng ki n th c vphương trình sai phân, ta tìm đư c công th c t ng quát c a dãy là 41 · 48n + 49 · (−42)n ∀ n ∈ N. bn = , 90Ngoài ra, ta cũng d dàng ch ng minh b ng quy n p r ng ∀ n ∈ N. a n ≡ b n (mod 2011),Theo đó, ta ch c n ch ng minh b2012 + 1 ≡ 0 (mod 2011) n a là xong.Ta có 41 · 482012 + 49 · (−42)2012 + 90 b 2012 + 1 = . 90Do 2011 là s nguyên t , và 2011, 90 là hai s nguyên t cùng nhaunên ta ch c n ch ng minh 41 · 482012 + 49 · (−42)2012 + 90 ≡ 0 (mod 2011). (1)Mà theo đ nh lý Fermat nh , ta có41 · 482012 + 49 · (−42)2012 + 90 ≡ 41 · 482 + 49 · 422 + 90 (mod 2011) = 90 b 2 + 90 = 90 6 · (−1) + 2016 · 1 + 90 = 90 · 2010 + 90 = 90 · 2011 ≡ 0 (mod 2011).Vì v y, (1) đúng. Bài toán đư c ch ng minh xong.22 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNL i gi i 2. Phương trình đ c trưng c a dãy đã cho là x2 − 6 x − 5 = 0có hai nghi m là 3 − 14 và 3 + 14, do đó ta d dàng tìm đư c côngth c s h ng t ng quát c a dãy là n n 7 − 2 14 3 + 14 + 7 + 2 14 3 − 14 an = 14 n−1 n−1 −7 + 14 3 + 14 − 7 + 14 3 − 14 = 14 = − u n + 2vn ,trong đó n−1 n−1 n−1 n−1 3 + 14 + 3 − 14 3 + 14 − 3 − 14 un = vn = , . 2 2 14S d ng công th c khai tri n nh th c Newton, ta có 1005 1005 C 2011 32011−2k 14k = 32011 + 2k C 2011 32011−2k 14k . 2k u 2012 = k=0 k=1Do 1 < 2k < 2011 v i 1 1005 và 2011 là s nguyên t nên k ...