Đề chọn đội tuyển VN thi Olympic toán 2012

Tham khảo đề thi - kiểm tra đề chọn đội tuyển vn thi olympic toán 2012, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề chọn đội tuyển VN thi Olympic toán 2012 www.VNMATH.com Vietnam Team Selection Test 2012 Thi ch n đ i tuy n Vi t Nam tham d kì thi Olympic Toán qu c t năm 2012Bài 1. (7,0 đi m) Cho đư ng tròn (O) và 2 đi m c đ nh B, C trên đư ng trònsao cho BC không là đư ng kính c a (O), A là m t đi m di đ ng trên đư ng tròn,A không trùng v i B, C. G i D, K, J l n lư t là trung đi m c a BC, CA, AB vàE, M, N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A, B, C trên BC, DJ, DK. Ch ngminh r ng các ti p tuy n t i M, N c a đư ng tròn ngo i ti p tam giác EM N luônc t nhau t i T c đ nh khi A thay đ i.Bài 2. (7,0 đi m) Trên m t cánh đ ng hình ch nh t kích thư c m × n ô vuôngg m m hàng và n c t ngư i ta đ t m t s máy bơm nư c vào các ô vuông. Bi tr ng m i máy bơm nư c có th tư i nư c cho các ô vuông có chung c nh v i nóvà các ô vuông cùng c t v i nó và cách nó đúng m t ô vuông. Tìm s nh nh tcác máy bơm nư c sao cho các máy bơm nư c có th tư i h t c cánh đ ng trong2 trư ng h p: a) m = 4 b) m = 3.Bài 3. (7,0 đi m) Cho s nguyên t p ≥ 17. Ch ng minh r ng t = 3 là snguyên dương l n nh t th a mãn đi u ki n: V i các s nguyên b t kì a, b, c, d saocho abc không chia h t cho p và a + b + c chia h t cho p thì t n t i các s nguyên p .x, y, z thu c t p {0; 1; ...; − 1} sao cho ax + by + cz + d. .p. tBài 4. (7,0 đi m) Cho dãy s (xn ) xác đ nh b i x1 = 1, x2 = 2011, xn+2 = 4022xn+1 − xn , ∀n ∈ N.Ch ng minh r ng x2012 +1 là s chính phương. 2012 √Bài 5. (7,0 đi m) Ch ng minh r ng c = 10 24 là h ng s l n nh t th a mãnđi u ki n: n u có các s dương a1 , a2 , ...a17 sao cho: 17 17 17 a2 i = 24; a3 i + ai < c i=1 i=1 i=1thì v i m i i, j, k th a mãn 1 ≤ i < j < k ≤ 17, ta luôn có ai , aj , ak là đ dài bac nh c a m t tam giác.Bài 6. (7,0 đi m) Có 42 h c sinh tham d kì thi ch n đ i tuy n Olympic toán 1 www.VNMATH.comqu c t . Bi t r ng m t h c sinh b t kì quen đúng 20 h c sinh khác. Ch ng minhr ng ta có th chia 42 h c sinh thành 2 nhóm ho c 21 nhóm sao cho s h c sinhtrong các nhóm b ng nhau và 2 h c sinh b t kì trong cùng nhóm thì quen nhau. 2