Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.

Bài viết xin giới thiệu tới bạn đọc một số định lý hình học hay cũng như những tìm tòi của tác giả khi sử dụng phép quy nạp trong hình học. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. MỞ RỘNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHÉP QUY NẠP Nguyễn Văn Linh (Hà Nội)1. Mở đầuQuy nạp là một phương pháp quen thuộc trong toán học. Nó cho phép ta rút ra quy luật tổngquát dựa trên những trường hợp riêng. Có thể sử dụng phép quy nạp để mở rộng rất nhiều địnhlý hình học, xây dựng các định nghĩa mới.Trong bài viết này, tác giả xin giới thiệu tới bạn đọc một số định lý hình học hay cũng như nhữngtìm tòi của tác giả khi sử dụng phép quy nạp trong hình học.2. Một số ví dụChúng ta bắt đầu từ một định lý quen thuộc về điểm Miquel:Trên mặt phẳng cho 4 đường thẳng cắt nhau tạo thành 4 tam giác. Khi đó đường tròn ngoại tiếp4 tam giác đồng quy tại một điểm gọi là điểm Miquel của 4 đường thẳng.Miquel cũng chứng minh trong trường hợp 5 đường thẳng rằng:5 điểm Miquel của mỗi bộ 4 trong 5 đường thẳng cùng nằm trên một đường tròn, gọi là đườngtròn Miquel của 5 đường thẳng.Cũng xin nêu một trường hợp rất đẹp là đường tròn Miquel của hình sao năm cánh, được phátbiểu như sau:Cho ngũ giác lồi B1 B2 B3 B4 B5 . Gọi A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 lần lượt là giao điểm của các cặp đườngthẳng .B2 B3 ; B4 B5 /; .B3 B4 ; B1 B5 /; .B4 B5 ; B1 B2 /; .B2 B3 ; B5 B1 /; .B1 B2 ; B3 B4 /:Gọi C1 là giao điểm của .A4 B1 B2 / và .A3 B1 B5 /.Tương tự ta xác định C2 ; C3 ; C4 ; C5 . Khi đó 5 điểm C1 ; C2 ; C3 ; C4 ; C5 cùng thuộc một đườngtròn (xem [2]).Một câu hỏi đặt ra là liệu có thể tổng quát định lý nêu trên không? 135 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 P14 A4 C2 P C1 C3 P13 l4 C2 C1 P34 l3 l1 A3 B1 A5 B2 P12 l2 P24 P23 C5 B5 B3 C3 B4 C4 A2 A1 C4Năm 1870, W.K.Clifford, một nhà toán học Anh, đã tổng quát bài toán cho n đường thẳng. Cụthể, 1. với n D 6, ta có 6 đường tròn Miquel của mỗi bộ 5 trong 6 đường thẳng đồng quy tại một điểm, gọi là điểm Clifford của 6 đường thẳng. 2. Với n D 7, ta có 7 điểm Clifford của mỗi bộ 6 trong 7 đường thẳng cùng thuộc một đường tròn, gọi là đường tròn Clifford của 7 đường thẳng. 3. Với n D 8, ta có 8 đường tròn Clifford của mỗi bộ 7 trong 8 đường thẳng đồng quy tại một điểm, gọi là điểm Clifford của 8 đường thẳng.Bài toán cũng đúng với trường hợp n bất kì lớn hơn 3: Có hai trường hợp xảy ra như sau: 1. Nếu n chẵn, n đường tròn Clifford của mỗi bộ n 1 trong n đường thẳng đồng quy tại điểm Clifford của n đường thẳng. 2. Nếu n lẻ, n điểm Clifford của mỗi bộ n 1 trong n đường thẳng cùng thuộc đường tròn Clifford của n đường thẳng.Quay lại định lý về điểm Miquel, sử dụng phép nghịch đảo phương tích bất kì có tâm là điểmbất kì nằm ngoài 4 đường thẳng và không nằm trên 4 đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác. Định lýMiquel trở thành bài toán:Cho một điểm P bất kì trên mặt phẳng và 4 đường tròn Ci .i D 1; 4/ đi qua P . Gọi Pij làgiao điểm thứ hai của Ci và Cj ; Cij k là đường tròn qua 3 điểm Pij ; Pj k ; Pi k . Khi đó 4 đườngtròn C234 ; C134 ; C124 ; C123 đồng quy tại điểm P1234 gọi là điểm Clifford của 4 đường trònCi .i D 1; 4/.Bằng một số suy luận đơn giản ta cũng nhận thấy P là điểm Clifford của 4 đường tròn C234 ; C134 ;C124 ; C123 . Sử dụng phép nghịch đảo tương tự trong trường hợp 5 đường thẳng, gọi C5 là đườngtròn thứ 5 đi qua P . Khi đó 5 điểm P2345 ; P1345 ; P1245 ; P1235 ; P1234 cùng thuộc đường trònC12345 gọi là đường tròn Cliffor ...