Đề kiểm tra đội tuyển Olympic môn Toán lớp 10 năm 2022 (Lần 1)

"Đề kiểm tra đội tuyển Olympic môn Toán lớp 10 năm 2022 (Lần 1)" sau đây sẽ giúp bạn đọc nắm bắt được cấu trúc đề thi, từ đó có kế hoạch ôn tập và củng cố kiến thức một cách bài bản hơn, chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề kiểm tra đội tuyển Olympic môn Toán lớp 10 năm 2022 (Lần 1) ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN 10 *********** Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềCâu 1. (2,0 điểm)a) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a  b b  c c  a  2 2 2 a 3  b3  c 3    12 . c a b abcb) Cho dãy số an  được xác định bởi a1  0 và an1  an  1 với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng: a1  a2  ...  an 1  . n 2Câu 2. (2,0 điểm)Tìm tất cả các bộ số nguyên dương a; b; c thỏa mãn 5a 2  9b2  13c 2 .Câu 3. (2,0 điểm)Tìm tất cả các hàm số f :   , thỏa mãn: x f  y   yf  x  f  xy   f  x 2   f  f  y  , x, y  .Câu 4. (2,0 điểm)Cho tam giác ABC có M là trung điểm đoạn BC. Gọi   là đường tròn nằm trong tam giác ABC tiếp xúc vớiAB, AC lần lượt tại E , F . Kẻ tiếp tuyến MP, MQ của   với P, Q là tiếp điểm sao cho P, B cùng phía vớiAM . Gọi X là giao điểm của PM và BF , Y là giao điểm của QM và CE. Chứng minh rằng nếu BC  2 PMthì XY là tiếp tuyến của  .Câu 5. (2,0 điểm)Cho A, B là tập hợp các số nguyên dương phân biệt với A  2 và B  2. Gọi S là một tập hợp chứa A  B 1phần tử có dạng ab trong đó a  A và b  B.a) Giả sử A  2 và B  3. Hỏi có bao nhiêu tập S thỏa mãn ?b) Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương phân biệt x, y, z thuộc S sao cho yz chia hết cho x. ---------------------------HẾT---------------------------https://thuvientoan.net/