Đề kiểm tra lớp 10 chuyên Toán năm 2022 (Lần 3)

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài tập, mời các bạn cùng tham khảo "Đề kiểm tra lớp 10 chuyên Toán năm 2022 (Lần 3)" dưới đây. Hy vọng sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề kiểm tra lớp 10 chuyên Toán năm 2022 (Lần 3) Ngày 3 tháng 6 năm 2022 ĐỀ KIỂM TRA LỚP 10 CHUYÊN TOÁN *********** Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềCâu 1. (1,0 điểm)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng: 1 1 1    2. a c 1 2 b a 1 2 c b2 1Câu 2. (1,5 điểm)Tìm tất cả các hàm số f :   , thỏa mãn bất đẳng thức f  x 2   f  y 2    f  x  y  x  f  y  với mọi x, y  .Câu 3. (2,0 điểm)Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại hoán vị  a1 , a2 ,..., a2021  của dãy 1, 2, 3,..., 2021 thỏa mãn: 2022  ai  i chia hết cho k với mọi i  1, 2,..., 2021.Câu 4. (2,0 điểm)Cho tứ giác lồi ABCD có ABC  ADC  900. Đường phân giác trong của góc ABC và ADC cắt nhau tại P và lần lượt cắt AC tại E , F . Gọi M là trung điểm AC. Đoạn thẳng BM và DM cắt đường tròn ngoại tiếptam giác BPD lần lượt tại X , Y .a) Chứng minh rằng tứ giác ABCY nội tiếp.b) Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng XE và YF . Chứng minh rằng PQ vuông góc với AC.Câu 5. (2,0 điểm)Một miếng tetromino là một hình được tạo bởi 4 hình vuông đơn vị liền cạnh. Với mỗi số nguyên dương n, xétphòng tắm có sàn có dạng hình chữ nhật 22n. Gọi Tn là số cách lát hoàn chỉnh sàn phòng tắm này chỉ bằng cácmiếng tetromino. Chứng minh rằng Tn là số chính phương với mọi n nguyên dương.Câu 6. (1,5 điểm)Cho n  1 là số nguyên dương. Số nguyên k được gọi là bạn của n nếu 0  k  n 1 và tồn tại các số nguyên   x2  y 2  z 2  0 mod nx, y, z thỏa mãn   .   xyz  k  mod n  Gọi f n là số các số bạn của n. Tính f 2020. ---------------------------HẾT---------------------------https://thuvientoan.net/