Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn Lý thuyết Galoa theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học trình bày bốn chương, với các nội dung về mở rộng thị trường; nhóm Galois; giải được bằng căn thức; mở rộng Galois và định lý cơ bản của lý thuyết Galois.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ tài NCKH Bài gi ng đi n t môn ’Lý thuy t Galoa’ theo hư ng tích c c hóa nh n th c ngư i h c Ch nhi m đ tài: Ths. Ngô Th Ngoan Đ I H C KHOA H C - ĐHTN Thành viên tham gia: TS. Nguy n Văn Hoàng Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois L im đ u - Lý thuy t Galois là s phiên d ch và k t n i c a lý thuy t v đa th c, lý thuy t trư ng và lý thuy t nhóm. Công th c nghi m (ch s d ng các phép toán đ i s trên các h s c a đa th c) c a đa th c b c hai đã đư c con ngư i bi t t r t lâu. Đ n gi a th k 16, công th c nghi m c a đa th c b c ba đư c hình thành, sau đó kho ng ba trăm năm, d a trên ý tư ng c a Largrange và Cauchy, Abel đã ch ng minh không có công th c nghi m c a đa th c b c năm. Đ n năm 1829, Abel đã đưa ra đi u ki n đ đ m t đa th c v i b c tùy ý có công th c nghi m. Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh ra s k t n i gi a nhóm v i m i đa th c, s d ng các tính ch t c a nhóm này, đưa ra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c có công th c nghi m. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois - M c tiêu c a môn h c Lý thuy t Galois là tìm hi u ki n th c đ th y đư c s k t n i đó và đ n đư c Đ nh lý L n c a Galois chính là đi u ki n c n và đ đ m t đa th c gi i đư c b ng căn th c. - Môn h c Lý thuy t Galois là môn h c r t hay, c n thi t và là môn h c khó. Nó đòi h i sinh viên n m v ng các ki n th c c a nhi u môn h c: Đ i s Đ i cương, Đa th c, Lý thuy t nhóm, Lý thuy t trư ng. Th i gian trên l p quá ít cho vi c gi ng d y và h c t p c a th y và trò. - Vì v y chúng tôi ch n đ tài thi t k bài gi ng đi n t cho môn h c này đ gi m b t áp l c v th i gian và ki n th c. Mong mu n các em có th h c t t môn h c và th y yêu thích nó, th y đư c s đ p đ c a toán h c trong m i quan h ch t ch gi a các lĩnh v c c a toán h c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois 1.1 M r ng trư ng B đ 1.1 Cho F là trư ng và f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy. Khi đó K = F [x]/(f (x)) là trư ng và x = x + (f (x)) là m t nghi m c a f (x). Hơn n a ta có đơn c u ϕ : F −→ K, do đó ta có th coi F là trư ng con c a K. Ch ng minh - Đ t I = (f (x)). Vì f (x) b t kh quy nên K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. L y g(x) + I ∈ K sao cho g(x) ∈ I. Khi đó (g(x), f (x)) = 1. Suy ra t n t i / q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f (x). T đó 1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Ch ng t g(x) + I kh ngh ch trong K, do v y K là trư ng. Ta th y ϕ : F −→ K, a −→ a + I là m t đơn c u. Đ t x = x + I ∈ K. Gi s f (x) = n ai xi . Khi đó f (x) = n ai xi = n (ai xi + I) i=0 i=0 i=0 = ( n ai xi ) + I = f (x) + I = 0. Suy ra x là nghi m c a f (x). i=0 Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.2 Cho F là trư ng con c a trư ng K. Khi đó quan h F ⊆ K đư c g i là m t m r ng trư ng, nó còn đư c kí hi u b i K/F . M t dãy các m r ng trư ng F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn , thư ng đư c g i là m t tháp các trư ng. Chú ý 1.3 N u K/F là m t m r ng trư ng, thì K là m t F -không gian véctơ, trong đó phép nhân m t ph n t c a F v i m t véctơ c a K xác đ nh b i F × K −→ K, (a, x) −→ ax. Kí hi u [K : F ] = dimF K và g i là b c c a m r ...