Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn 'Lý thuyết galois' theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn “Lý thuyết galois” theo hướng tích cực hóa nhận thức người học nhằm thiết kế bài giảng điện tử cho môn học này để giảm bớt áp lực về thời gian và kiến thức. Mong muốn các em học sinh có thể học tốt môn học và thấy yêu thích nó, thấy được sự đẹp đẽ của toán học trong mối quan hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực của toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn “Lý thuyết galois” theo hướng tích cực hóa nhận thức người học TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA TOÁN TIN NGÔ THỊ NGOAN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ MÔN “LÝ THUYẾT GALOIS” THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HÓA NHẬN THỨC NGƯỜI HỌC Thái Nguyên, năm 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA TOÁN TIN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ MÔN “LÝ THUYẾT GALOIS” THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HÓA NHẬN THỨC NGƯỜI HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ NĂM 2010 Chủ nhiệm đề tài: Ngô Thị Ngoan Thành viên tham gia: Nguyễn Văn Hoàng Thái Nguyên, năm 2011 Mục lục Chương 1 Mở rộng trường 4 1.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Trường phân rã của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2 Nhóm Galois 14 2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Căn của đơn vị, một số cấu trúc nhóm Galois . . . . . . . . . . 16 Chương 3 Giải được bằng căn thức 23 3.1 Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Đa thức giải được bằng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 4 Mở rộng Galois, Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 33 4.1 Tính độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.5 Định lý lớn của Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo 52 2 Lời mở đầu Lý thuyết Galois là sự phiên dịch và kết nối của lý thuyết về đa thức, lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Công thức nghiệm (chỉ sử dụng các phép toán đại số trên các hệ số của đa thức) của đa thức bậc hai đã được con người biết từ rất lâu. Đến giữa thế kỉ 16, công thức nghiệm của đa thức bậc ba được hình thành, sau đó khoảng ba trăm năm, dựa trên ý tưởng của Largrange và Cauchy, Abel đã chứng minh không có công thức nghiệm của đa thức bậc năm. Đến năm 1829, Abel đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức với bậc tùy ý có công thức nghiệm. Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh ra sự kết nối giữa nhóm với mỗi đa thức, sử dụng các tính chất của nhóm này, đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức có công thức nghiệm. Mục tiêu của môn học Lý thuyết Galois là tìm hiểu kiến thức để thấy được sự kết nối đó và đến được Định lý Lớn của Galois chính là điều kiện cần và đủ để một đa thức giải được bằng căn thức. Môn học Lý thuyết Galois là môn học rất hay, cần thiết và là môn học khó. Nó đòi hỏi sinh viên nắm vững các kiến thức của nhiều môn học: Đại số Đại cương, Đa thức, Lý thuyết nhóm, Lý thuyết trường. Thời gian trên lớp quá ít cho việc giảng dạy và học tập của thầy và trò. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài thiết kế bài giảng điện tử cho môn học này để giảm bớt áp lực về thời gian và kiến thức. Mong muốn các em có thể học tốt môn học và thấy yêu thích nó, thấy được sự đẹp đẽ của toán học trong mối quan hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực của toán học. 3 Chương 1 Mở rộng trường 1.1 Mở rộng trường Bổ đề 1.1. Cho F là trường và f (x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy. Khi đó K = F [x]/(f (x)) là trường và x = x + (f (x)) là một nghiệm của f (x). Hơn nữa ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, do đó ta có thể coi F là trường con của K. Chứng minh. Đặt I = (f (x)), suy ra K = F [x]/I. Vì f (x) bất khả quy nên I = F [x] và do đó K là vành giao hoán khác 0. Lấy tùy ý g(x) + I là phần tử khác 0 của K. Khi đó g(x) ∈ I hay f (x) không là ước của g(x). Mặt khác do / f (x) bất khả quy, suy ra (g(x), f (x)) = 1, nên tồn tại q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f (x). Từ đó 1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Chứng tỏ g(x) + I là phần tử khả nghịch của K. Vậy K là trường. Xét ánh xạ ϕ : F −→ K, a −→ a + I. Ta dễ thấy ϕ là đồng cấu vành và là đơn ánh, do đó nó là đơn cấu. Vì thế ta có thể đồng nhất mỗi a ∈ F với ảnh ϕ(a) = a + I ∈ K. Như vậy F được coi như một trường con của K. n Cuối cùng, giả sử f (x) = i i=0 ai x , và đặt x = x + I ∈ K. Khi đó n n n n i i i f (x) = ai x = ai (x + I) = (ai x + I) = ( ai xi ) + I = f (x) + I = 0. i=0 i=0 i=0 i=0 Suy ra x là một nghiệm của f (x). Định nghĩa 1.2. Cho F là trường con của trường K. Khi đó quan hệ F ⊆ K được gọi là một mở rộng trường, nó còn được kí hiệu là K/F . Nếu có một dãy các mở rộng trường F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn , khi đó ta thường gọi đó là một tháp các trường. 4 Đề cương môn Lý thuyết Galoa (3 ĐVTC) 5 Chú ý 1.3. Giả sử K/F là một mở rộng trường. Khi đó K có cấu trúc của một F -không gian véc tơ, trong đó phép nhân một phần tử của F với một véc tơ của K xác định bởi F × K −→ K (a, x) −→ ax Ta kí hiệu [K : F ] = dimF K và được gọi là bậc của mở rộng trường. Định lý 1.4. Cho F là một trường và f (x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy. Đặt K = F [x]/(f (x)). ...