Đề tài 'Phương trình Pell'

Trong suốt bao nhiêu năm học toán từ thời tiểu học đến đại học, em đã học được rất nhiều điều hay, điều mới lạ, có những vấn đề dễ hiểu, có những vấn đề đọc mãi mà chẳng ra, có những vấn đề có trong chương trình học, mà có nhiều vấn đề không có trong chương trình. Đó là những vấn đề có thể đối với thế giới là bình thường nhưng đối với em là điều mới, điều hay và nó thu hút bản năng thích tìm tòi, khám phá và chinh phục của mình.Phương trình Pell...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề tài “Phương trình Pell”GVHD: Bùi Anh Kiệt SVTH: Lương Thị Mai Hiên1050032 PHẦN MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiTrong suốt bao nhiêu năm học toán từ thời tiểu học đến đại học, em đã học đ ược rấtnhiều điều hay, điều mới lạ, có những vấn đề dễ hiểu, có những vấn đề đọc mãi màchẳng ra, có những vấn đề có trong chương trình học, mà có nhiều vấn đ ề không cótrong chương trình. Đó là những vấn đề có thể đối với thế giới là bình thường nhưngđối với em là điều mới, điều hay và nó thu hút bản năng thích tìm tòi, khám phá và chinhphục của mình.Phương trình Pell là một dạng của phương trình Diophantine nhưng bản thân nó kháphong phú và lại rất đa dạng cả trong lịch sử ra đời, trong định nghĩa, trong phương phápgiải và cả ứng dụng của nó trong số học.Chính tính hấp dẫn của vấn đề cùng với việc mong muốn giới thiệu vấn đề tới các bạnsinh viên ngành toán của trường.Vì thế, em đã có động lực để nghiên cứu đề tài và chọnđề tài luận văn của mình là: “Phương trình Pell” dưới sự góp ý của thầy hướng dẫn BùiAnh Kiệt.2. Lịch sử vấn đềJonh Pell (1611-1685) nhà toán học, người đã tìm ra những nghiệm nguyên ở thế kỉ 17.Tuy nhiên ông chưa là người đầu tiên làm điều này.Phương trình Pell đã được phát minh với chiều sâu hàng trăm năm trước khi Pell ra đời.Sự đóng góp đầu tiên là nhà toán học người Ấn Độ - Brahmagupta, cách đây 1000 năm,trước thời gian của Pell. Với sự đóng góp của ông đã bắt đầu lịch sử nghiên cứu vềphương trình Pell.Năm 1150 sau Công Nguyên, một nhà toán học Ấn Độ khác – Bhaskara II, ông đã khámphá ra phương pháp tuần hoàn, mà người Ấn Độ gọi là chakravala .Thế kỉ thứ 14, Narayana đưa ra một số ví dụ về phương pháp tuần hoàn của Bhaskara II.Thế kỉ thứ 17, ở Châu Âu, Fermat đã khẳng định rằng “với mọi số n, có vô hạn con số lànghiệm của phương trình”, ông không chứng minh được. Nhưng các nhà toán học ngườiAnh: William Bramker và John Walliss đã làm được. Ngoài ra Frenicle de Bessy đã sắpxếp thành bảng những nghiệm của phương trình Pell với tất cả số n 150 .Phương trình Pell 1GVHD: Bùi Anh Kiệt SVTH: Lương Thị Mai Hiên1050032Thế kỉ thứ 18, vào năm 1766, Lagrange đã chứng minh được rằng nghiệm của phươngtrình phụ thuộc vào khai triển liên phân số của n.3. Mục đích nghiên cứuMục đích nghiên cứu là tập hợp và hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của liên phânsố. Đồng thời vận dụng kiến thức này vào nghiên cứu phương trình Pell có đ ặc điểmgì? Phương pháp giải và ứng dụng của nó trong Số học?Xây dựng hệ thống ví dụ nhằm bổ sung làm sáng tỏ phần lý thuyết và các bài tập giúpngười đọc hiểu sâu hơn. Đồng thời đưa ra một số ứng dụng của nó trong Số học.Em hay bất cứ một bạn sinh viên nào trước khi ra trường đều muốn tạo dựng một thànhquả tốt đẹp cho mình, một công trình nhỏ của riêng mình, để thấy được rằng đây chínhlà sản phẩm đầu tay của người sinh viên sau 4 năm ngồi trên giảng đường Đại học . Emnghiên cứu đề tài này là muốn hoàn thành Luận văn tốt nghiệp, bên cạnh đó em muốnđược mở mang kiến thức, tầm nhìn của mình về môn toán. Từ đó tạo đà cho em sẽ pháttriển cao hơn về năng lực tư duy trong nghiên cứu toán học.4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứuLuận văn thừa nhận một số khái niệm và tính chất cơ bản của Số học, dãy số. Bêncạnh đó, luận văn trình bày một số kiến thức cơ sở của liên phân số cuối cùng là đi đếnkhái niệm phương trình Pell và hình thành cách giải của phương trình.5. Phương pháp nghiên cứuĐọc sách có liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trên mạng.Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết.Sử dụng phương pháp tổng hợp, hệ thống những kiến thức tiên quyết, trình bày vấn đềtheo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi.6. Nội dung nghiên cứuNội dung chính của đề tài gồm 4 chương:Chương I. Kiến thức chuẩn bịChương II. Các dạng phương trình Pell và một số phương pháp giảiTrong chương này, thì gồm 3 dạng của phương trình Pell và các đ ịnh lý nói lên ph ươngpháp giải của nó cùng các ví dụ cụ thể.Phương trình Pell 2GVHD: Bùi Anh Kiệt SVTH: Lương Thị Mai Hiên1050032Chương III. Bài tậpChương IV. Một vài ứng dụng PHẦN NỘI DUNGChương I. Kiến Thức Chuẩn BịI.1. Bổ đề 1 p 1Cho d là số vô tỉ, khi đó tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p, q): d− < q q2Chứng minhTheo tính chất của liên phân số vô hạn ta có: pk 1∀k : α − < với α R. qk qk qk +1Mà theo cách xác định { qk } , thì: qk +1 = ak qk + q ...