Đề thi chính thức kỳ thi Toán học Hoa Kỳ - AIME (có đáp án)

"Đề thi chính thức kỳ thi Toán học Hoa Kỳ - AIME (có đáp án)" được chia sẻ dưới đây giúp các em có thêm tư liệu luyện tập và so sánh kết quả, cũng như tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các em thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chính thức kỳ thi Toán học Hoa Kỳ - AIME (có đáp án) MAA American Mathematics Competitions 40th Annual AIME II American Invitational Mathematics Examination II Wednesday, February 16, 2022INSTRUCTIONS1. DO NOT OPEN THIS BOOKLET UNTIL YOUR COMPETITION MANAGER TELLS YOU TO BEGIN.2. This is a 15-question competition. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive.3. Mark your answer to each problem on the answer sheet with a #2 pencil. Check blackened answers for accuracy and erase errors completely. Only answers that are properly marked on the answer sheet will be scored.4. SCORING: You will receive 1 point for each correct answer, 0 points for each problem left unanswered, and 0 points for each incorrect answer.5. Only blank scratch paper, rulers, compasses, and erasers are allowed as aids. Prohibited materials include calculators, smartwatches, phones, computing devices, protractors, and graph paper.6. Figures are not necessarily drawn to scale.7. Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your name on the answer sheet.8. You will have 3 hours to complete the competition once your competition manager tells you to begin.9. When you finish the competition, sign your name in the space provided on the answer sheet.The MAA AMC Office reserves the right to disqualify scores from a school if it determines thatthe rules or the required security procedures were not followed.The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this competi-tion during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrityof the results. Dissemination via phone, email, or digital media of any type during this periodis a violation of the competition rules.A combination of your AIME score and your AMC 10/12 score is used to determine eligibility forparticipation in the USA (Junior) Mathematical Olympiad. © 2022 Mathematical Association of America 5Bài 1. Trong một buổi hòa nhạc có người tham dự là người trưởng thành. Sau đó một xe buýt 12 11chở thêm 50 người tới tham dự buổi hòa nhạc. Khi ấy 25 số người tham dự buổi hòa nhạc là ngườitrưởng thành. Hỏi sau khi xe buýt tới nơi, buổi hòa nhạc đó có ít nhất bao nhiêu người trưởngthành tham dự?Bài 2. Azar, Carl, Jon và Sergey là bốn vận động viên lọt vào vòng bán kết của một giải đấu tennis.Họ sẽ được chọn ngẫu nhiên thành hai cặp để thi đấu. Những người chiến thắng ở mỗi cặp sẽ thiđấu với nhau để quyết định người vô địch. Khi Azar thi đấu với Carl thì xác suất Azar chiến thắng 2là 3. Khi Azar hoặc Carl thi đấu với Jon hoặc Sergey thì Azar hoặc Carl sẽ chiến thắng với xác 3suất là . Giả sử rằng kết quả của mỗi trận đấu là độc lập với nhau. Gọi xác suất để Carl vô địch 4 ?giải đấu là ?, với ? và ? là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính ? + ?.Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích là 54, độ dài cạnh đáy là 6. Các đỉnh của hình chóp ?nằm trên một hình cầu có bán kính là ? , với ? và ? là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.Tính ? + ?. 1 1Bài 4. Cho một số thực dương ? khác 20 và 2 thỏa mãn log 20? (22?) = log 2? (202?). ?Giá trị của log 20? (22?) có thể viết dưới dạng log10 ( ? ), với ? và ? là các số nguyên dương nguyêntố cùng nhau. Tính ? + ?.Bài 5. Đánh dấu 20 điểm phân biệt trên một đường tròn bằng các số từ 1 đến 20 theo chiều kimđồng hồ. Mỗi cặp điểm có hiệu hai số là một số nguyên tố được nối bởi một đoạn thẳng. Tìm sốtam giác có cạnh là các đoạn thẳng trên và các đỉnh là các điểm đã cho.Bài 6. Cho các số thực ?1 ≤ ?2 ≤ ∙∙∙ ≤ ?100 thỏa mãn |?1 | + |?2 | + ∙∙∙ + |?100 | = 1 và ?1 + ??2 + ∙∙∙ + ?100 = 0. Giả sử giá trị lớn nhất của hiệu ?76 − ?16 có thể nhận được là ? , với ? và? là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính ? + ?.Bài 7. Cho đường tròn bán kính 6 đơn vị tiếp xúc ngoài một đường tròn bán kính 24 đơn vị. Tìmdiện tích tam giác được giới hạn bởi ba đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho.Bài 8. Tìm số các số nguyên dương ? ≤ 600 sao cho ? được xác định duy nhất nếu biết trước các ? ? ?giá trị ⌊ 4⌋, ⌊ 5⌋ và ⌊ 6⌋. Trong đó, kí hiệu ⌊?⌋ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực ?.Bài 9. Cho hai đường thẳng phân biệt ?? và ?? song song với nhau. Với các số nguyên dương ?và ?, ta lấy các điểm phân biệt ?1 , ?2 , ?3 ,…, ?? nằm trên đường thẳng ?? và các điểm phân biệt?1, ?2, ?3,…, ?? nằm trên đường thẳng ?? . Đồng thời khi vẽ các đoạn thẳng ?? ?? v ...