Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên

Để giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 - 2022 Ngày thi thứ nhất: thứ ba 28/9/2021 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ----------------------------------------------------Bài 1. (5,0 điểm)Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7n 1 chia hết cho n 2 n  1 . 2Bài 2. (5,0 điểm)Cho n là số nguyên dương. Tính bộ số có thứ tự  a0 , a1 ,..., an  với ai  0, 1, 2, 3, 4, 5 với mọi i  0, 1, 2,.., nthỏa mãn điều kiện n  a0  3a1  32 a2  ...  3n an .Bài 3. (5,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn O đường kính AK . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếptam giác ABC và D là trung điểm cung nhỏ BC của O. Lấy P thuộc trung trực AI sao cho PI  OI và Hlà hình chiếu của P lên IK . Lấy L trên IK sao cho AH  DL và Q trên AD sao cho QL  IK . Chứng minhrằng IA  2 IQ.Bài 4. (5,0 điểm)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a4 b4 c4 3 2 2 3 2 2  3. b2 a 2  ab  b2  c b  bc  c 2  a c  ca  a 2  3 ----------------------------HẾT---------------------------- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 - 2022 Ngày thi thứ hai: thứ tư 29/9/2021 Thời gian làm bài: 210 phút, không kể thời gian phát đề ----------------------------------------------------Bài 5. (7,0 điểm)a) Tìm tất cả các hàm số f : *  * , thỏa mãn: n3  mf 2 m chia hết cho f n  f m với mọi số nguyên dương m, n.b) Tìm số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương m, n thỏa mãn n3  kmf 2 m chia hết cho f n  f m.Bài 6. (6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn  K  qua B, C cắt CA, AB tại E , F . Gọi L là giao điểm của AK vàBC , H là giao điểm của BE và CF . Đường thẳng AH cắt đường thẳng EF tại G; gọi M , N lần lượt là giaođiểm của GL với BE , CF . Chứng minh FM cắt EN tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC .Bài 7. (7,0 điểm)  a1  1, a2  5Cho dãy số an  thỏa mãn   .  an1  6an  an1 , n  2 a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy an  đều được biểu diễn dưới dạng tổng hai số chính phương.b) Tìm số dư khi chia a337 cho 337.c) Đặt un  a1  2a2  ...  nan . Tìm số dư khi chia u337 cho 2022. ----------------------------HẾT----------------------------