Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Mời các bạn học sinh cùng tham khảo “Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh” sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những nội dung chính được đề cập trong đề thi để từ đó có kế hoạch học tập và ôn thi một cách hiệu quả hơn. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà TĩnhSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HÀ TĨNH DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018  2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 20/9/2018(Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài) Thời gian làm bài: 180 phútBài 1. (5,0 điểm) Cho dãy số thực  xn  được xác định bởi công thức: 1 x1  1; xn 1  xn  với mọi n  1, 2,3... 2 xn Chứng minh rằng: 1 1 1 a) n  nxn  n  H n , với mọi n  1, 2,3... trong đó H n  1     . 6 2 n b) 9 x81   81 (kí hiệu  x  là phần nguyên của số thực x ).Bài 2. (5,0 điểm) Cho số nguyên a và đa thức P ( x ) hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1.Ta xây dựng dãy số (an ) xác định bởi: a0  a , an1  P  an  với mọi n  N . Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: i) | am |  | am 1 |  | am  2 |  ... ii) am , am1 , am 2 ... là dãy tuần hoàn với chu kì T  2 .Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AC, AB sao choMN song song với BC. Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao choEP  AC , EC  BC , FP  AB, FB  BC . a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển. b) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng trung trựccủa BC đi qua trung điểm của PQ.Bài 4. (5,0 điểm) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ítnhất có 2 viên kẹo. Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viênkẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo. Cô yêucầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loạikẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảngđúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là M . a) Xác định giá trị nhỏ nhất của M . b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khácnhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này. HẾT  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh……………………………………….Số báo danh……………..… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018  2019 Môn: TOÁN  Ngày thi thứ nhất HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm 1 Do xn21  xn2  2  1 , x12  1 nên ta chứng minh quy nạp xn2  n . 4 xn Với n  1 thì mệnh đề đúng. Giả sử mệnh đề đúng đến n , tức là xn2  n . 1 1.a 1 Suy ra xn21  n  1   n  1 đúng. Từ đó ta có nxn  n . 2,5 4 xn2điểm 1 n 1 1 1 n 1 1 Lại có xn2  xn21   1    x1 2   n  1    n   4 xn21 2 k 1 4 xk 4 k 1 k 2 1,5 1  1  1  n  Hn   n  H n   nxn  n  H n . 4  6 n  6 Ta chứng minh H 81  6 . 1 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: H n  1  ln n . Thật vậy, xét hàm số 1  1 1 f  x   ln  x  1  ln x   ln  1    x  0 x 1  x  x 1 1 1 0,5 1.b f  x     0 , x  0 nên hàm số f  x  giảm trên x  x  1  x  12 2,5điểm 1 khoảng  0;    f  x   0, x  0 , hay  ln  x  1  ln x * x 1 Áp dụng BĐT trên ta có : 1 1 1      1  ln 2  ln1  ln3  ln 2    ln81  ln80  1  ln81  6 2 81 1 1 Từ đó : 81  81 x81  81  H 81  82  9 x81   81 . 6 Trường hợp 1. V ...