Đề thi chọn HSG 8 ( lần 2) Năm 2009-2010

Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG 8 ( lần 2) Năm 2009-2010 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2) Năm học 2009 - 2010  x2 1 10 − x 2  6 x−2+  + +Bài 1: Cho biểu thức M =  3  : x+2   x − 4 x 6 − 3x x + 2   a) Rút gọn M 1b)Tính giá trị của M khi x = 2Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A <0.Bài 3:a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : 3( x + 1) B= x + x2 + x +1 3Bài 4:Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đườngthẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tạiG.a) Chứng minh: AE2 =EF.EGb). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tíchBF.DG không đổi. Bài 5: x 2 − yz y 2 − xz = Với x ≠ y ; xyz ≠ 0 ; yz ≠ 1 ; xz ≠ 1.Chứng minh rằng nếu x(1 − yz ) y (1 − xz )Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)HD:Bài 1:a) Rút gọn M  x2 1 10 − x 2   1 6 x2 6 6 x−2+ = + + − +M=  3  : : x + 2   x ( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2  x + 2   x − 4 x 6 − 3x x + 2    −6 x+2 1M = ( x − 2)( x + 2) . 6 = 2− x 1b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 1 1 ⇔x= hoặc x = -x= 2 2 2 1 1 1 2Với x = ta có : M = 2 − 1 = 3 = 2 3 22 1 1 1 2Với x = - ta có : M = 2 + 1 = 5 = 2 5 22Bài 2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2+ c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A <0.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) 0 ( BĐT trong tam giác)Vậy A< 0Bài 3:a)Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 ≥ 1Dấu = xãy ra ⇔ x = y và y = 2Vậy GTNN của A là 1 ⇔ x = y =2 3( x + 1) 3( x + 1) 3( x + 1) 3b) B= = x 2 ( x + 1) + x + 1 = ( x 2 + 1)( x + 1) = 2 x + x + x +1 x +1 3 2 3 ≤3Do x2 +1>0 nên B = x +1 2Dấu = xãy ra ⇔ x = 0Vậy GTLN của B là 3 ⇔ x = 0 A BBài 4: E Fa)Do AB//CD nên ta có: D EA EB AB C G = = (1) EG ED DGDo BF//AD nên ta có: EF EB AD = = (2) EA ED FB EA EFTừ (1) và (2) ⇒ = Hay AE2 = EF. EG EG EAb). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tíchBF.DG không đổi. AB FBTừ (1) và (2) ⇒ = Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) DG ADBài 5:Từ GT ⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)⇔ x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0⇔ (x -y) [ xy − xyz ( x + ...