Đề thi chọn HSG cấp thành phố lớp 9 môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi chọn HSG cấp thành phố lớp 9 môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa cung cấp cho các bạn những câu hỏi bài tập ôn. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp thành phố lớp 9 môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Thanh HóaPHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐTHANH HÓANĂM HỌC 2016 - 2017Môn Toán: Lớp 9ĐỀ CHÍNH THỨC(Thời gian làm bài: 150 phút)Bài 1: (5,0 điểm) x2x1  x 1Cho biểu thức: P  . Với x  0, x  1.:2xx1xx11xa) Rút gọn biểu thức P.2b) Tìm x để P  .72c) So sánh: P và 2P.Bài 2: (4,0 điểm)a) Tìm x, y  Z thỏa mãn: 2 y 2 x  x  y  1  x2  2 y 2  xyb) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:21 1 11 1 1     2  2  2.b ca b c aChứng minh rằng: a 3  b3  c3 chia hết cho 3.Bài 3: (4,0 điểm)a) Giải phương trình sau:4 x2  20 x  25  x2  6 x  9  10 x  20b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi Elà giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. LấyM là trung điểm của EF.a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diệntích của hình vuông ABCDBài 5: (1,0 điểm)Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:abcabcab bc cabccaab-------------- Hết-----------Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9Bài Câu1aNội dungĐiểmĐiều kiện: x  0, x  1.0,5 x2x1  x 1P:2xx1xx11xbx2x1  x 13: 2xx1x1x 10,5 x  2  x ( x  1)  ( x  x  1)x  2 x 1x 1 x  x 1x 1 x  x 1.:x 122x 10,50,52x  x 1Với x  0, x  1. Ta có:P0,52722x  x 1 71,0 x  x 1 70,25 x x 60 ( x  2)( x  3)  0Vìx  3  0 nênVậy P =c0,25x  2  0  x  4 (t/m)2khi x = 47Vì x  0  x  x  1  10,250,2522x  x 10 P200,250,25 P ( P  2)  0 P2  2P  0 P2  2PDấu “=” xảy ra khi P = 2  x = 0Vậy P2  2P2a2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy 2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xy  00,5  x  1 (2 y 2  y  x)  10,25Vì x, y Z nên x - 1  Ư(-1) = 1; 1+) Nếu x – 1 = 1  x = 20,52Khi đó 2y - y – 2 = - 1 y = 1 (t/m) hoặc y =1Z (loại)2+) Nếu x – 1 = -1  x = 00,52Khi đó 2y - y = 1 y = 1 (t/m) hoặc y =1Z (loại)20,25x  2 x  0; y1y 1Vậy ba) Từ giả thiết0,51 1 11 1 1(   )2  2  2  2a b cab c111 2(   )  0ab bc ca0,5Vì a, b, c  0 nên a + b + c = 0 a  b  c  a  b    c 33 a  b  3ab(a  b)  c33 a  b  c  3abc3330,50,2530,25Vậy a 3  b3  c3 3với a, b, c  ZLưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thứcx3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.3aĐkxđ: x  R0,254 x2  20 x  25  x2  6 x  9  10 x  20Vì4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  0 với x 10x – 20  0  x  20,5Ta có:4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  200,5 2 x  5  x  3  10 x  20 2 x  5  x  3  10 x  20 7 x  28 x  4(t / m)0,50,25Vậy phương trình có nghiệm là x = 4bx2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.0,5  x  y   7( x  y )  10   y 22 ( x  y  2)( x  y  5)   y 2  0 4  x  y  1  10,5* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 00,5Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0Amax = - 1 khi x = -2; y = 00,54aEMANBF1,0DCTa có: ECD  BCF (cùng phụ với ECB )Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)1,0 CE = CF  ECF cân tại CMà CM là đường trung tuyến nên CM  EFb* Vì  EDC =  FBC  ED = FB0,5 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuôngta có:BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm)0,5*  CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM EF2 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM EF20,5 CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC.Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC0,5 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC(đpcm).cĐặt DE = x (x > 0)  BF = xSACFE = SACF + SAEF =0,51AF   AE  CB20,25 ...