Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Gửi đến các bạn học sinh “Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội” được TaiLieu.VN chia sẻ dưới đây nhằm giúp các em có thêm tư liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. Cùng tham khảo giải đề thi để ôn tập kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi các em nhé, chúc các em thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12, THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2018-2019 −xCâu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và đường thẳng d có phương trình y = x + m , 2x +1 m là tham số. Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B là lớn nhất. Lời giải  1 −1 Tập xác định D = ℝ −  . Ta có đạo hàm y′ = .  2 ( 2 x + 1) 2 −x Phương trình hoành độ giao điểm = x + m ⇔ g ( x ) = 2 x 2 + 2 ( m + 1) x + m = 0 . 2x + 1 ∆′ = m 2 + 2m + 1 − 2m = m 2 + 1 > 0, ∀m  Ta có   1  1 nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( C ) tại hai  g  −  = − ≠ 0, ∀m   2 2 điểm phân biệt A , B với mọi giá trị thực m . S = − ( m + 1)  Gọi x1 , x2 là hoành độ của điểm A và B khi đó  m .  P =  2   1 1  = − 4S − 8P + 4S + 2 = − 4m 2 + 2 ≤ −2 . 2 Suy ra K = −  + ( )  ( 1 ) ( 2 x2 + 1)  ( 4P + 2S + 1)  2x + 1 2 2  2 Vậy tổng hệ số góc lớn nhất của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B bằng −2 đạt được khi m = 0.Câu 2: (5 điểm) a) Giải phương trình cos x = 1− x 2 Lời giải Xét hàm số f ( x) = cos x + x 2 −1 với x ∈ ℝ .Ta có f ( x) = − sin x + 2 x ; f ( x) = − cos x + 2 .Vì f ( x) > 0 ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x) đồng biến trên ℝ . Mà f (0) = 0 suy ra phương trình f ( x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 . Bảng biến thiên: 1 Từ bảng biến thiên suy ra f ( x) = 0 ⇔ x = 0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 .  x 2 + 3 y 2 + 2 xy − 6 x − 2 y + 3 = 0 b) Giải hệ phương trình  2  x − y + 5 = 2 x y + 3  Lời giải Ta có: x 2 + 3 y 2 + 2 xy − 6 x − 2 y + 3 = 0 2 ⇔ x 2 + 2 ( y − 3) x + ( y − 3) + 2 y 2 + 4 y − 6 = 0 ⇒ 2 y 2 + 4 y − 6 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3 (1). Lại có: x 2 − y + 5 = 2 x y + 3 ⇔ x 2 − 2 x y + 3 + y + 3 + 2 (1− y ) = 0 2 ( ) ⇔ x − y + 3 + 2 (1− y ) = 0 ⇒ 2 (1− y ) ≤ 0 ⇔ y ≥ 1 (2) . Từ (1) và (2) ⇒ y = 1 .Thay y = 1 vào hệ được x = 2 .  x = 2 Vậy hệ có nghiệm là  .  y = 1 1 a2Câu 3: (3 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định bởi a1 = , an +1 = 2 n ; n = 1, 2,... 2 an − an + 1 a) Chứng minh dãy số ( an ) là dãy số giảm. b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt bn = a1 + a2 + ... + an . Tính lim bn . n →+∞ Lời giải −a ( a − 1) 2 an2 a) Xét hiệu an +1 − an = 2 − an = 2n n . an − an + 1 an − an + 1 2 Từ cách xác định dãy số ta có an > 0∀n và an2 − an + 1 > 0 ⇒ an +1 − an < 0∀n ∈ N * Vậy ( an ) là dãy số giảm. an2 − an + 1 + an − 1 a −1 b) Ta có an +1 = = 1+ 2 n ...