Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2013 – 2014 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi. Mời các em cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THPT môn Toán năm 2013 – 2014 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn. dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2013 – 2014 - Sở GD&ĐT Lạng SơnSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOLẠNG SƠNKÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2013 – 2014Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)ĐỀ CHÍNH THỨCThời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)Đề thi gồm có 1 trang, 5 câuCâu 1 (2 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 vàparabol (P): y = - x2.a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1),B(x2; y2).Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.Câu 2 (2 điểm)2y 3x x 1  y 1  2a. Giải hệ phương trình ;2x3y 10 x  1 y  1b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x  y  x  2 .Câu 3 (2 điểm)a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, Elần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độdài nhỏ nhất.b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =3x  4x2 1Câu 4 (3 điểm)Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (Ckhác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC,các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E.a. Chứng minh tam giác EAI cân;b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID;c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.Câu 5 (1 điểm)Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.ĐÁP ÁNCâuCâu 1Ýa2 điểmbCâu2aN i unnh àyĐiểmĐường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1Vậy: m = 1Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x –m+1=0có hai nghiệm phân biệt   m  0Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2)Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m)Đặt u xy; vx 1y 1 3u  2v  2 9u  6v  6u  22u  3v  104u  6v  20v  20,250,250,250,25Ta có: x – y + 1 = 2 x  y  x  2  x  y  1  2 x  y  x  2  0 .0,25Hay:Suy ra:2x  y 1  x  2  0 .0,250,252x  y 1  x  2  0  x  y 1  x  2  0 .Vì vậy có: x = 2; y = 1.2điểm0,25Vậy hệ có nghiệm (2; -2)bCâu30,250,25xy 2  x  2; 2  y  2x 1y 1Từ:0,50,25Khi đó có hệ: 2điểm0,5AaDBEMC0,25Do: ADM  AEM  DAE  900 nên ADME 0,25là hình chữ nhật0,25Nên : DE = AMDE nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM  BC0,25Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A0,253x  4A = 2  A(x 2  1)  3x  4  Ax 2  3x  A  4  0 , (*) có nghiệm xbx 1Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3Nếu A  0 có :   9  4A(A  4)  4(A  2)2  25  0 Vậy : min A 1b91khi x  3; max A  khi x 22a2319A220,250,250,250,25aVẽ hình để chứng minh aFCâu4I3điểmADo AD, CE là các đường phân giácnên :0,25DOBDC  DB, EB  EADo đó: DC  EA  DB  EBSuy ra: AIE  IAEVậy: tam giác EAI cân tại EEbTa có: AIE  CID (đối đỉnh)EAI  DCI (cùng chắn cung DE)Suy ra:c0,250,25AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường caonên  ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0Do: DIB  IBA  IAB  450 nên  BID vuông cânsuy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 bx - a2 = 0Có: x =(loại),x =b  b 2  4a 2. Vậy AB =2b  b 2  4a 221điểm0,250,25IC ID IC.IE  IA.IDIA IEb  b 2  4a 220,250,25Do đó : ICD IAE .Câu50,25C0,250,250,250,25Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ2014. n  N*0,25Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư.Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013hay: 20142014...2014  20142014...2014  20142014....20140000...0000 2013 0,25j sô 2014jí sô 2014i sô 20144i sô 04iSố có dạng 20142014…2014 . 10  2013Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n  N*Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 20130,250,25 ...