Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Việc giải trực tiếp trên từng đề thi trong bộ "Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh" sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, và các dạng Toán khác nhau, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải đề. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi học kì!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bắc NinhĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINHNăm học 2017 – 2018Câu 1.(4,0 điểm)x  2 x 1  x  2 x 11) Rút gọn biểu thức: P x  2x 1  x  2x 1, với x  2 .2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 thức A  x5 1 7 . Tính giá trị các biểux211; B  x7  7 .5xxCâu 2.(4,0 điểm)1) Cho phương trình x2  (m2  1) x  m  2  0 (1) , m là tham số. Tìm m để phươngtrình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn2) Giải hệ phương trình 2 x1  1 2 x2  155. x1 x2 x2x1x1 x2( x  1)2  y  xy  4 24 x  24 x  35  53 y  11  y.Câu 3.(3,5 điểm)1) Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m  n2 chia hết cho m2  n vàn  m2 chia hết cho n2  m .2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương knhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai sốphân biệt a , b sao cho a 2  b2 là số nguyên tố.Câu 4.(6,0 điểm)Cho tam giác ABC cân tại A  BAC  90  nội tiếp đường tròn  O  bán kính R . Mlà điểm nằm trên cạnh BC  BM  CM  . Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn O  ( D khác A ), điểm H là trung điểm đoạn thẳng BC . Gọi E là điểm chính giữacung lớn BC , ED cắt BC tại N .1) Chứng minh rằng MA.MD  MB.MC và BN.CM  BM .CN .2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD . Chứng minh rằng ba điểm B, I , E thẳng hàng.3) Khi 2AB  R , xác định vị trí của M để 2MA  AD đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 5.(2,5 điểm)1) Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x  y  z  3 và xy  yz  zx  0 .Chứng minh rằngx 1 y 1 z 125.y  1 z  1 x  1 3 3 4 xy  yz  zx2) Cho tam giác ABC vuông tại C có CD là đường cao. X là điểm thuộc đoạn CD, K là điểm thuộc đoạn AX sao cho BK  BC , T thuộc đoạn BX sao cho AT  AC ,AT cắt BK tại M . Chứng minh rằng MK  MT .LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINHNĂM HỌC 2017-2018Câu 1. (4,0 điểm)x  2 x 1  x  2 x 11) Rút gọn biểu thức: P x  2x 1  x  2x 1, với x  2 .2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 thức A  x5 1 7 . Tính giá trị các biểux211; B  x7  7 .5xxLời giải2x 1 2 x 1 11) P2.x 1 2 x 1 12x 1 2 2x 1 1x 1 12x 1 122x 1 2 2x 1 12x 1 122x 1 122.x 1 1x 1 12x 1 12.2 x 122x 1 12. x 1 .2)x1x227Ta có x3x1x44+) xx5+) x3x7x1x3x21 4xx1x22x1x2327x1 2x 1x1x23.629x1x3 (do x0)1821x4118 141x511x43xx41x721x846247x51x31x5x3x51x5x7xx71x7x51x518x71x731231x1x7843Câu 2. (4,0 điểm)1) Cho phương trình x2  (m2  1) x  m  2  0 (1) , m là tham số. Tìm m để phươngtrình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn2) Giải hệ phương trình 2 x1  1 2 x2  155. x1 x2 x2x1x1 x2( x  1)2  y  xy  4 24 x  24 x  35  53 y  11  yLời giải.m21)21m44 m 2x1Theo định lí Vi-ét ta có2 x1 1x22 x2 1x12 x12x12 x222m212 m42m2m4Đặt m22m221m2x1 x2m 24m 87012 x1 1 x12 x2 1 x2x1 x2x1 x2552 x1m24 m 21m21 m255x1 x22x2m 2224 x1 x255x1x2x1 x2255004m 4 5500 (2)24aa2x1 x22x255x1 x2x1 x2x22 m 10Phương trình (2) trở thành a2 2a 24 0Ta cóphương trình có 2 nghiệm:25 0a1 4 (Nhận); a26 (Loại, vì a 0 )m2+) Với a 4 m2 42 là giá trị cần tìm.Vậy m 2 ; m2(1)2) ( x  1)  y  xy  4 2 4 x  24 x  35  5Phương trình (1)x 1 xxy1x33 y  11  y( x 1)2y x 1y0(2)xy4x 1 xx203y2 x 3 xyy003+) Thay x 1 vào phương trình (2) ta được: 4.12 24.1 35 5 3 y 11y23 y 11y33 y 2 11y10 2 y3 y 11y93 y 2 1110 2 y2y229 y 1000y 25y 4+) Thay y4 x224 x3 vào phương trình (2) ta đượcx3553 x34 x224 x355 3x 24 x228x243x4 x 1 x 611x5 x334 x22 5 3x 2x9 x 1 x 63x25 3x 224 x35 5 3x 29 5 x3x 1 x 6x95 x3005 x30x 1 x 6 4Vì 43x3x92 5 3x 2x92 5 3x 2x19 5 xxx16yyx 1 x 6019 5 x0,3x302349Vậy nghiệm x; y của hệ là: 1; 4 , 1; 25 , 6;9Câu 3. (3,5 điểm)1) Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m  n2 chia hết cho m2  n vàn  m2 chia hết cho n2  m .2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương knhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai sốphân biệt a , b sao cho a 2  b2 là số nguyên tố.Lời giải1)n2 m2m2n2(1)nm nmn2m2nm n 1 mn0nm2n2mnn0m n 1n m 11mm 1 m0(do m , n nguyên dương)0m n 11*) TH1: m n22+) m n m nmn 1m n2m2 nn 1 n2n 1n223n 1n4nn2n2vì nmn24n 23n 123n 17n 3*0nn23n 1 4n 2737 ...