Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bình Định

Hãy tham khảo đề kiểm tra 1 tiết HK2 môn Toán lớp 9 - (Kèm đáp án) đề số 17 kèm đáp án môn Toán để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì kiểm tra sắp tới đạt điểm tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bình ĐịnhĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNHNĂM HỌC 2017-2018Câu 1:1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.2) Cho ba số phân biệt a, b, c . Đặt:x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac .222Chứng minh rằng trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.Câu 2:1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  x  y  2 x  y  1  9  y  1  132) Giải phương trình: x2  x  2018  2018Câu 3:1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca  vàp, q, r là ba số thỏa mãn: p  q  r  0 . Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  0 .2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M   a  b  1 a 2  b2 4abCâu 4:1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BHb) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kínhAH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạiM và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCtại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp.2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trêncác cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:a) DE có độ dài nhỏ nhất.b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.STT 07. LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNHNĂM HỌC 2017-2018Câu 1:1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.2) Cho ba số phân biệt a, b, c . Đặt:x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac .222Chứng minh rằng trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.Lời giải1) Ta có: n6  2n4  n2  n6  n4  n4  n2  n4  n2  1  n2  n2  1  n  n  1 n  122A 2và  2,3  1  A 6  n  n  1 n  1 36A 3Đặt A  n  n  1 n  1 , ta có (đpcm)2) Ta có:x  y  z   a  b  c   9ab   a  b  c   9bc   a  b  c   9ac  3  a  b  c   9  ab  bc  ca 2 3 a 2  b2  c 2   ab  bc  ca  2223222a  b   b  c    c  a  2Vì a, b, c là ba số phân biệt nên3222a  b   b  c    c  a    0  x  y  z  0 .2Do đó trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số dương.Câu 2:1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  x  y  2 x  y  1  9  y  1  132) Giải phương trình: x2  x  2018  2018Lời giải1) Ta có:  x  y  2x  y  1  9  y 1  13  2x 2  xy  x  2xy  y 2  y  9 y  9  13  0 2x2 2 xy  6 x    xy  y 2  3 y    5x  5 y  15  7  2 x  x  y  3  y  x  y  3  5  x  y  3  7  x  y  3 2 x  y  5  710xxy31xy23+ TH1: 2 x  y  5  72 x  y  12 y  16310xxy37xy43+ TH2: 2 x  y  5  1 2 x  y  6 y  23(loại)(loại) x  y  3  1 x  y  4 x  22 x  y  5  72 x  y  2y  2+ TH3: (thỏa mãn) x  y  3  7 x  y  10 x  2(thỏa mãn)2 x  y  5  1 2 x  y  4y  8+ TH4: Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên  x; y  là:  2; 2  ,  2;8 .2) ĐKXĐ: x  2018 , đặt x  2018  t , , t  0  t 2  x  2018x  t  0x 1  tTa có x 2  x  2018  2018  x 2  t  t 2  x   x  t  x  t  1  0   x 2  x  2018  0x  t  01  3 897x22018  x  0 2018  x  0+ TH1:  x 2  x  2017  0x 1  t1  8069x2 x  1 x  1+ TH2: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 1  3 8971  8069; x.22Câu 3:1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca  vàp, q, r là ba số thỏa mãn: p  q  r  0. Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  0 .2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M   a  b  1 a 2  b2 4abLời giải1) Từ gt: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca    a  b  c   4bc | a  b  c | 2 bc2Lại có: p  q  r  0  r   p  q apq  bqr  crp  apq  bq   p  q   cp   p  q   apq  bpq  bq2  cpq  cp2  pq  a  b  c    bq2  cTa có: bq2  cp2 | pq | 2 bc | pq || a  b  c | pq  a  b  c  pq  a  b  c    bq 2  cp 2   0  apq  bqr  crp  0 (đpcm).2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a2  b2  2ab  2 M   a  b  1 a 2  b2 2 a  b.444   a  b  1 .2  a bab 2abab ab 4 2 ab  2  2.2  2  2  8 . Dấu “=” xảy ra khi a  b  1 .abVậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 khi a  b  1 .Câu 4:1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BHb) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kínhAH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạiM và cắt đoạn thẳng BC tại P. T ...