Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh là tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập cho các em học sinh lớp 9. Bên cạnh việc ôn tập kiến thức lý thuyết thì việc thực hành làm đề kiểm tra học kì 1 môn Toán lớp 9 sẽ giúp các em học sinh nắm vững cấu trúc đề thi và nâng cao kỹ năng trình bày bài tập Toán
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hà TĩnhĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNHNĂM HỌC 2017-2018I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi)Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo.Câu 2: Cho a1  2017 và an1  an  2017 với mọi n  1, n  . Tìm a2018 .Câu 3: Cho 4a2  b2  5ab với b  2a  0 . Tính giá trị của p 5ab.3a  2b 22Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200 m , vận tốcvật thứ nhất là 4 m / s , vận tốc vật thứ hai là 6 m / s . Hai vật xuất phátcùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúcxuất phát)Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên(cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 .Câu 6: Giải phương trình 3 1  x  x  3  2 .Câu 7: Cho các số a, b thỏa mãn a3  8b3  1  6ab . Tính a  2b .222b  c  aCâu 8: Tìm các số nguyên dương a , b , c ,  b  c  thỏa mãn .2  a  b  c   bcCâu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với cácsố 2 ; 3 ; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tamgiác ABC .Câu 10: Cho tam giác ABC có A  30 ; B  50 , cạnh AB  2 3 . TínhAC  AC  BC  .II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)2 y 2  x 2  1Câu 11: Giải hệ phương trình  3.32  x  y   y  xCâu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  AC ngoại tiếp đường tròn tâmO . Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của  O  với các cạnh AB , AC ,BC . Gọi I là giao điểm của BO và EF . M là điểm di động trên đoạnCE . Gọi H là giao điểm của BM và EF .a) Chứng minh nếu AM  AB thì các tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp.b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của  O  , P và Q lầnlượt là hình chiếu củaN trên các đường thẳng DE , DF . Chứng minh PQ  EF .Câu 13: Cho x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 . Tìm GTNN củaF  5x 2  11xy  5 y 2 .LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TỈNHNĂM HỌC 2017-2018I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi)Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo.ờảGọi số cạnh của đa giác lồi là n ,  n  , n  3 . Ta cón  n  3 27  n  9 .2Câu 2: Cho a1  2017 và an1  an  2017 với mọi n  1, n  . Tìm a2018 .ờảTa có a2  a1  2017  2.2017 , a3  a2  2017  3.2017 , …Do đó a2018  2018.2017  4070306 .Câu 3: Cho 4a2  b2  5ab với b  2a  0 . Tính giá trị của p ờ5ab.3a  2b 22ảTa có 4a2  b2  5ab   a  b  4a  b   0 . Do b  2a  0 nên b  4a . Suy raP20a 24 .223a  32a7Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200 m , vận tốcvật thứ nhất là 4 m / s , vận tốc vật thứ hai là 6 m / s . Hai vật xuất phátcùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúcxuất phát)ờảGọi t là thời gian để hai vật gặp nhau tính từ lúc xuất phát. Quảngđường mỗi vật đi được đến lúc gặp nhau là S1  v1t  4t , S2  v2t  6t . Vìhai vật đi cùng chiều nên S2  S1  S  6t  4t  200  t  100 (giây).Do đó cứ sau 100 giây chúng gặp nhau một lần. Vậy sau 16 phút  960960giây thì chúng gặp nhau số lần là    9 . Vậy vật thứ hai vượt lên 100 trước 9 lần.Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên(cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 .ờả  n  1 n  3 2n  1   8.10.15   50 tam giác.24  24 Số tam giác khác nhau là Câu 6: Giải phương trình 3 1  x  x  3  2 .ờảĐKXĐ x  3 . Đặt 3 1  x  a ; x  3  b  0 .a  0a  b  22Ta có  3 2 a  a  a  4  0   a  1  17a  b  42 15  5 17 2Từ đó tìm được tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1;.Câu 7: Cho các số a, b thỏa mãn a3  8b3  1  6ab . Tính a  2b .ờảx  y  z  0x  y  zTa có x3  y 3  z 3  3xyz  Do đó a3  8b3  1  6ab  a3   2b    1  3a  2b  133 a  2b  1  0  a  2b  1. a  2b  1 a  2b  2b 2  c 2  a 2Câu 8: Tìm các số nguyên dương a , b , c ,  b  c  thỏa mãn .2  a  b  c   bcờảTa có b2  c2  a2   b  c   2bc  a 2   b  c   4  a  b  c   a 222  b  c  2   a  2 .22Vì b  c  1 nên b  c  2  1 dó đób  c  2  a  2  a  b  c  4  b2  c 2   b  c  4   b  4  c  4   8 .2Vì b  4  c  4  3 nên có các trường hợp saub  4  8 b  12 a  13 .c  4  1  c  5TH1: b  4  4 b  8 a  10 .c  4  2  c  6TH2: Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với cácsố 2 ; 3 ; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tamgiác ABC .ờảGọi độ dài các cạnh BC  a , AC  b , AB  c . Độ dài các đường cao kẻtừ đỉnh A , B , C lần lượt là x , y , z . Khoảng cách từ trọ ...