Đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT UBND tỉnh Quảng Trị

Để kì thi sắp tới đạt kết quả cao, mời các bạn học sinh cùng tham khảo Đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT UBND tỉnh Quảng Trị để ôn tập các kiến thức cơ bản, làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải đề nhanh và chính xác. Chúc các bạn thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT UBND tỉnh Quảng Trị UBND TỈNH QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1. (5,0 điểm) 1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y  cos x  sin x. 2. Tìm m để phương trình 2 x 4  4 x 2  1  2m  0 có đúng 5 nghiệm phân biệt.Câu 2. (5,0 điểm) 1 1. Chứng minh rằng C2020  2C2020 2  ...  1010C2020 1010  1010.22019. 2. Tìm tất cả các cặp số thực  x; y  thỏa mãn xy  4 và  x  y  20   x  y  xy  8  . 2Câu 3. (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SABvuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tíchcủa khối chóp S . ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ). Gọi M , D, E lần lượt là trungđiểm của BC , IB, IC; F , G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABDvà ACE. Chứng minh rằng AM vuông góc FG.Câu 4. (2,0 điểm) Cho dãy số  xn  được xác định bởi x1  2 và xn1  2  xn , n  1. Chứng minhdãy số  xn  có giới hạn và tìm giới hạn đó.Câu 5. (2,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2b  c 2c  a 2a  b 18abc P    . a b c ab  bc  ca ========== HẾT ========== Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y  cos x  sin x.    x    k 2y   sin x  cos x ; y  0   4  x  3  k 2  4     3 y  sin x  cos x ; y    k 2    2  0; y   k 2   2  0  4   4  3Vậy các điểm cực đại của hàm số là: x   k 2 ; Các điểm cực tiểu của hàm số là: 4 x  k 2 4Câu 1. 2. Tìm m để phương trình 2 x 4  4 x 2  1  2m  0 có đúng 5 nghiệm phân biệt.2 x 4  4 x 2  1  2m  0  2 x 4  4 x 2  1  2m .Cách 1: Xét hàm số f ( x)  2 x 4  4 x 2  1 có BBT của hàm số f ( x) và f ( x)Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số f ( x) và đườngthẳng y  m . Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2m  1 hay 1m . 2Cách 2: (HS 10,11). 2 x 4  4 x 2  1  2m (1) . Đặtt  x2 , t  0PTTT: 2t 2  4t  1  2m (2).Xét hàm số f (t )  2t 2  4t  1 trên [0; ) . | f (t ) | cóđồ thịBiện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1). 1Từ đó kết luận m  . 2Cách 3: Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (1) thì  x0 cũng là nghiệm của pt (1). Do đónếu các nghiệm xi  0 thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để 1pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm x0  0 , thế vào tìm được m  . Giải phương 2 1trình khi m  và kết luận. 2Câu 2.1. Chứng minh rằng C20201  2C2020 2  ...  1010C2020 1010  1010.22019. n! (n  1)!Cách 1: Ta có: k .Cnk  k . n  nCnk11 k ! n  k  ! (k  1)!(n  k )! 1 C2020  2020C2019 0 2 2C2020  2020C2019 1 ... 10101010C2020  2020C2019 1009 .VT  2020  C2019 0  C2019 1  ...  C2019 1009  0Xét C2019  C2019 ...