Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nam Định

Tham khảo "Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nam Định" dành cho các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô, để giúp cho các bạn học sinh có thể chuẩn bị ôn tập tốt hơn và hệ thống kiến thức học tập chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ môn Toán. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nam ĐịnhSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016NAM ĐỊNHMôn: TOÁN – Lớp 9Thời gian làm bài: 150 phútĐỀ CHÍNH THỨC(Đề thi gồm 01 trang)Câu 1. (3,0 điểm)1. Tính giá trị biểu thức P 5 3  5 35  22 11  6 2 .2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  y  z  2, x2  y 2  z 2  18 và xyz  1 .Tính giá trị của S 111xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1Câu 2. (5,0 điểm)1. Giải phương trình 2 2 x  1  x  3  5x  11  0 . y2  y x 1 1  x 1  02. Giải hệ phương trình 22 x  y  7 x  3  0.Câu 3. (3,0 điểm)1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2  y 2  xy  x  y  1 .2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có2 3 4... n  1n  3.Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn  O  và ngoại tiếp đường tròn I  . Điểm D thuộc cạnh AC sao choABD  ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DICtại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với ABcắt BD tại P.1. Chứng minh tam giác QBI cân;2. Chứng minh BP.BI  BE.BQ ;3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK / / JB .Câu 5. (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗihọc sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham giacùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.----------Hết---------Họ và tên thí sinh:………………………Họ, tên chữ ký GT1:…………………………………..Số báo danh:…………………………… Họ, tên chữ ký GT2:…………………………………..SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠONAM ĐỊNHĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THIKỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016Môn: TOÁN – Lớp 9ĐỀ CHÍNH THỨCĐáp ánCâu1.1(1,5)Tính giá trị biểu thức P 5 3  5 3Đặt M 5  225 3  5 35  22Điểm 11  6 2 .10  2 22. Ta có M 25  22 M  2 (Do M  0 )3  2 11  6 2 1.2(1,5)20,250,5 3 2Suy ra P  3Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  y  z  2,x 2  y 2  z 2  18 và xyz  1 . Tính giá trị của S 0,25111.xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1Ta có xy  z  1  xy  x  y  1   x  1 y  10,5Tương tự yz  x  1   y  1 z  1 và zx  y  1   z  1 x  10,25Suy ra S 111 x  1 y  1  y  1 z  1  z  1 x  1x  y  z 3 x  1 y  1 z  10,2511xyz   xy  yz  zx    x  y  z   1 xy  yz  zxTa có  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   xy  yz  zx  72Suy ra S  2.1(2,0)0,520,250,2517Giải phương trình 2 2 x  1  x  3  5x  11  0 .Điều kiện x 120,52 2 x  1  x  3  5x  11  0  2 2 x  1  x  3  5x  11 9 x  1  4 2 x 2  5x  3  5x  11  2 x 2  5x  3  3  x0,5x  3x  3x  1 2 x  12222 x  5 x  3  9  6 x  x x  11x  12  00,52.2(3,0)Đối chiếu điều kiện ta được x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình. y 2  y x  1  1  x  1  0 1Giải hệ phương trình .22 2x  y  7x  3  0Điều kiện x  1, y y2  y0,5x  1  1  x  1  0  y 2  y  x  1  y  1  0   y  1 y  x  1  0y 1.yx1Với y  1, thay vào (2) ta được0,50,5x2  1  7 x2  3  0  x2  1  7 x2  3  x4  2 x2  1  7 x2  3 x2  1x  1(do điều kiện của x) x  5x  4  0   2x2x4420,5Với y  x  1 , thay vào (2) ta được x 2  x  1  7 x 2  3  0  x2  4  x 1 1   x  2  x  2  7 x2  3  5  07  x  2  x  2 x20x 1 17 x2  3  5x  2 7  x  21x20x 1 17 x2  3  5Với x  2 suy ra y  1.Ta có x  2   x  2Với x  1 thì0,250,57  x  2171  x  2  1 x 1 1x 1 17 x2  3  57 x2  3  5 7 x2  3  27x  3  521x 1 17 x  3  2  0   x  227 x2  3  27 x2  3  27 x2  3  5010x 1 17 x2  3  5Vậy hệ phương trình có các nghiệm 1;1 ,  2;1 .Suy ra  x  2 3.1(2,0)0,50,25Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2  y 2  xy  x  y  1 .Ta có x 2  y 2  xy  x  y  1   x  y    x  1   y  1  4220,752Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh có thể xét từng trường hợp)x yx 1y 1Nghiệm  x; y 1,02001;1-200Loại020Loại0-20 1;1002Loại00-21; 1Vậy các số  x; y  cần tìm là 1;1 ,  1;1 , 1; 13.2(1,0)0,25Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có2 3 4... n  1n  3.Với mỗi số nguyên dương k ta có k  k 2  1   k 2  1  1   k  1 k  1 .0,25Sử dụng đẳng thức trên liên tiếp với k  3,4,..., n ta được0,53  1  2.4  ...