Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Đại số - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Đại số giúp các bạn sinh viên có thêm tài liệu để củng cố các kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ. Đây là tài liệu bổ ích để các em ôn luyện và kiểm tra kiến thức tốt, chuẩn bị cho kì thi học kì. Mời các em và các quý thầy cô giáo bộ môn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Đại số - ĐH Sư phạm Kỹ thuật ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: MATH 141401 BỘ MÔN TOÁN Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phút Sinh viên được sử dụng tài liệu Chú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài.  1 2 3  4   xCâu 1: Cho các ma trận A  3m  1 1 0 , B  m  2 , X   y  .        m m  9 9   14   z a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính A. X  B có vô số nghiệm.b/ (1điểm) Với m  3 , tính det  5.A2014  .Câu 2: Cho B  u1   0, 2, 1 ; u2  1,1 , 0  ; u3  1, 0,  1 là m t cơ s c a 3 vàE  v1  2 x, v2   x 2  1, v3  x 2  x  1 là m t cơ s c a P2  x  . Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  P2  x được xác định b i f  a, b, c    a  2b . x 2   b  c  . x   a  b  c  .a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a Im f .b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ s B, E . 1c/ (1điểm) Trong P2  x  cho tích vô hướng u, v   u  x  .v  x  dx . Hãy trực giao cơ s E. 1  5 3 0   x1 Câu 3: Cho ma trận A  3 5 0 và X   x2  .        0 0 4   x3 a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A.b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương f  x1, x2 , x3   5x12  5x22  4 x32  6 x1 x2 về ạng chính t c b ng ph p biếnđ i trực giao.c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương g  x1, x2 , x3   X T A2014 X về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao.Câu 4: Cho ánh xạ g :  G xác định b i g  k   3k  3, k  ,với là tập số nguyên và tập G  n  3k : k  .a/ (1điểm) Chứng minh quy t c n  k : n  k  3 (với mọi n, k  G ) là m t ph p toán hai ngôi trên G .b/ (1điểm) Chứng minh G cùng với ph p toán  là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán).c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ g là m t song ánh.d/ (1điểm) Chứng minh g là m t đồng cấu từ nhóm  ,   (nhóm các số nguyên với phép cộng các sốnguyên) vào nhóm  G,  . Từ đó suy ra g :  ,     G,  là m t đẳng cấu nhóm.Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu A2  A . 0 1a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng A    là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không? 0 1b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu A, B  M n   là các ma trận lũy đẳng và AB  BA thì AB cũng là matrận lũy đẳng.CBCT không giải thích đề thi. Ngày tháng năm B môn Toán