Đề thi học kì 2 lớp 11 năm 2008–2009 môn Toán - Trường Phổ Thông Năng Khiếu

Đề thi học kì 2 lớp 11 năm 2008–2009 môn Toán - Trường Phổ Thông Năng Khiếu dành cho các bạn học sinh lớp 11 giúp các em ôn tập lại kiến thức đã học và đồng thời giáo viên cũng có thêm tư liệu tham khảo trong việc ra đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học kì 2 lớp 11 năm 2008–2009 môn Toán - Trường Phổ Thông Năng KhiếuĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCMTrường Phổ Thông Năng KhiếuĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009MÔN THI: TOÁNLớp 11. Thời gian: 90 phút(Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D)Câu 1. a)Tính limx→2x2 − 5x + 6x 2 + 6 x − 16b) Tính lim ( x + 2 )x →−∞4x + 1( x − 1) ( x 2 + 2 x )Câu 2. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y =M ( xM ; −4 )3x − 1. Viết phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tạix+2cos xx2 + 2b) Chứng minh phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD , ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABS đều có tâm I ,Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số y = 3 x + 1 −AC ⊥ BC , AC = BC = a 2 .a) Chứng minh SI ⊥ ( ABC ) và tam giác ASC cân.b) Chứng minh IS = IA = IB = IC . Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC )c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và ABd) Tính góc tạo bởi ( SAC ) và ( ABC )Hướng dẫn giảiCâu 1.a) Ta có limx→2( x − 2 )( x − 3) = lim x − 3 = 2 − 3 = − 1x2 − 5x + 6= lim2x + 6 x − 16 x→2 ( x − 2 )( x + 8 ) x→2 x + 8 2 + 810b) Ta cólim ( x + 2 )x →−∞4x + 1= lim −( x − 1) ( x 2 + 2 x ) x→−∞( x + 2 ) ( 4 x + 1) =( x − 1) x ( x + 2 )21⎞1⎞⎛ 2 ⎞⎛⎛ 2 ⎞⎛x 2 ⎜1 + ⎟⎜ 4 + ⎟1 + ⎟⎜ 4 + ⎟⎜( x + 2 )( 4 x + 1) = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = −2= lim −x →−∞x →−∞x →−∞x ( x − 1)⎛ 1⎞⎛ 1⎞x 2 ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟⎝ x⎠⎝ x⎠3x − 1Câu 2. y =x+2Nguyễn Tăng Vũhttp://vuptnk.tk1Ta có y′ =3 ( x + 2 ) − ( 3 x − 1)( x + 2)2=7( x + 2)Ta có M ( xM ; −4 ) ∈ ( C ) ⇒ −4 =Ta có y′ ( −1) =7( −1 + 2 )223 xM − 1⇒ xM = −1xM + 2= 7.Vậy phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại M ( −1; −4 ) là: y = 7 ( x + 1) − 4 hay y = 7 x + 3Câu 3.a) y = 3 x + 1 −cos xx2 + 2( − sin x ) ( x 2 + 2 ) − 2 x cos x33x 2 sin x + 2 x cos x + 2sin x−=+Ta có y′ =222 3x + 12 3x + 1( x2 + 2)( x2 + 2)b)f ( x ) = x 3 − 5 x + 1 . Ta có f là hàm số liên tục trên Ta có f (1) = −3 và f ( 3) = 13Ta có f (1) . f ( 3) = −39 < 0 , suy ra phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (1;3)Vậy phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.Bài 4.Nguyễn Tăng Vũhttp://vuptnk.tk2SFICBEDAa) Vì tam giác SAB đều và I là tâm tam giác đều nên SI ⊥ AB .⎧( SAB ) ⊥ ( ABC )⎪⎨ AB = ( SAB ) ∩ ( ABC )Ta có⎪ SI ⊥ AB⎩⇒ SI ⊥ ( ABC )Gọi D là giao điểm của SI và AB thì D là trung điểm AB .Tam giác ABC vuông cân tại C nên AB = AC 2 = 2aTa có SD =AB. 31= a 3 và CD = AB = a22Ta có SD ⊥ ( ABC ) ⇒ SD ⊥ CD , suy ra SC = DC 2 + SD 2 =(a 3)2+ a 2 = 2aTam giác SAC có SA = SC = 2a nên cân tại Sb)1AB = DB = DA2Vì D là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( ABC ) và DA = DB = DC nên ta có IA = IB = IC .Tam giác ABC vuông cân tại C có D là trung điểm AB nên CD =Mặt khác I là tâm của tam giác đều SAB nên IA = IB = IS .Vậy IS = IA = IB = ICNguyễn Tăng Vũhttp://vuptnk.tk3n.Vì CD là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABC ) nên góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) là SCDSD a 33n = 600==⇒ SCDSC2a2Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600n=Ta có sin SCDc) Vẽ DF ⊥ SC( F ∈ SC ) (1) .⎧ AB ⊥ SDTa có ⎨⇒ AB ⊥ ( SCD ) ⇒ AB ⊥ DF ( 2 )⎩ AB ⊥ CDTừ (1) và (2) ta có DF là đoạn vuông góc chung của SC và AB .n = a.sin 600 = a 3Ta có DF = CD.sin FCD2a 3Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là2d) Gọi E là trung điểm AC , ta có SE ⊥ AC (do tam giác SAC cân tại S )Trong tam giác ABC có DE là đường trung bình nên DE // CB ⇒ DE ⊥ AC .Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là góc giữa hai đường thẳng SE và DE .SD a 3 2 3n = 670 47′=== 6 ⇒ SEDDE a 222Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là 670 47′n=Ta có tan SEDNguyễn Tăng Vũhttp://vuptnk.tk4