Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 5

Tài liệu tham khảo về Đề thi học phần toán cao cấp 3 dành cho các bạn ôn thi môn toán
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 5 TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 10 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1(2 điểm): Cho hàm số: z = x 3 − 2 x 2 + y 2 − 4 xy − 3 x − 6 y 1. Tìm các điểm cực trị của hàm z. 2. Tại điểm N (-1, 2), hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra kh ỏi đi ểm N theo hướng lập với trục Ox góc 300. 3. Tại điểm N đó, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2(3 điểm): Cho hệ toạ độ Oxy với i và j là vector đơn vị theo trục Ox và trục Oy.   12 Xét trường vector V =  x + y − 2 xy ÷i + ( − x + y + xy ) j . 2 2   2 1. Chứng minh rằng trường vector V là trường có thế. Hãy tìm hàm th ế c ủa tr ường vector V thoả mãn điều kiện hàm thế đó có giá trị bằng 1 tại gốc toạ độ. 2. Tính tích phân (tính trực tiếp):   12  x + y − 2 xy ÷dx + ( − x + y + xy ) dy 2 2   2 L(BA) với L là đường parabole y=x2 nối 2 điểm A (-1, 1) và B (2, 4). 3. Kiểm chứng kết quả ở phần 2) bằng cách sử dụng hàm thế tìm được ở phần 1). Câu 3(2 điểm): Cho một vật thể phẳng, trong hệ toạ độ Oxy với trục Oy hướng th ẳng đ ứng lên trên, được giới hạn bởi các đường có phương trình lần lượt là : y = 0, y = b, y = x và y = x-2. Mật độ của vật thể đó được xác định là p(x, y) = 2 – x - y. Hãy xác định độ cao tối đa (thông qua tham số b) c ủa vật th ể đ ể vật th ể đó không b ị đổ dưới tác động duy nhất là của lực trọng trường. Câu 4 (3 điểm): Giải hệ phương trình vi phân:  y ' =4 y +3 z −x  z ' =−10 y −2 z +x  3 với điều kiện: khi x = 0 thì y = 0 và z = 0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: Câu 1: 1. Tìm điểm cực trị: z = x 3 − 2 x 2 + y 2 − 4 xy − 3 x − 6 y { z x = 3 x 2 − 4 x − 4 y − 3= 0 ' →y=2x+3 z 'y = 2 y − 4 x − 6 = 0 Thay vào ta có: 3 x 2 − 4 x − 4 ( 2 x + 3) − 3 = 0 → 3 x 2 − 12 x − 15 = 0 → x 2 − 4 x − 5 = 0 x1 = −1 → y1 = 1 x2 = 5 → y2 = 13 M 1 (−1,1), M 2 (5,13) M 2 ( 5,13) M 1 (−1,1) z xx = 6 x − 4 = r '' -10 26 z xy = −4 = s '' -2 -4 z 'yy = = ' 2 t 2 2 s2 - rt 16+20=36 16-52=-36 ∂P y2 P ( x, y ) = x + − 2 xy → = y − 2x ∂y 2 ∂Q Q( x, y ) = − x 2 + y 2 + xy → = −2 x + y ∂x ∂P ∂Q ur Vậy ∂y = ∂x →Vậy trường V có thế. x 7 Hàm thế φ ( x, y ) được tìm theo công thức φ ( x, y ) = ∫ P( x, y 0) + ∫ Q( x, y )dy + C x0 y0 Ta chọn x0=0, y0=0 Ta có: y x φ ( x, y ) = ∫ xdx + ∫ ( − x 2 + y 2 + xy ) dy + C 0 0 2 y 3 xy 2  y = y 2 x = +  −x y + + ÷ y =0 + C x 0 2 3 2  x2 y 3 xy 2 φ ( x, y ) = − x 2 y + + +C 2 3 2 Tại O (0, 0), Ф có giá trị là 1 nên C=1. Vậy hàm Ф phải tìm là: x2 y 3 xy 2 φ ( x, y ) = − x2 y + + +1 2 3 2   y2 2. Tính trực tiếp: ∫  x + − 2 xy ÷dx + ( − x + y + xy ) dy 2 2 2 L ( BA )   A (-1, 1), B(2, 4), L: y=x2.   −1 ...