Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 9 năm 2023-2024 có đáp án - Phòng GD&ĐT TP. Bắc Ninh

Mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 9 năm 2023-2024 có đáp án - Phòng GD&ĐT TP. Bắc Ninh" sau đây để biết được cấu trúc đề thi, cách thức làm bài thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn học sinh có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 9 năm 2023-2024 có đáp án - Phòng GD&ĐT TP. Bắc Ninh UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (5,0 điểm)1. Cho hai biểu thức với .a. Rút gọn biểu thức .b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để .2. Cho các số dương thỏa mãn các điều kiện và .Tính giá trị biểu thức: .Câu 2 (4,0 điểm):1. Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: .2. Cho là các số nguyên và Chứng minh rằng chia hết cho khi và chỉ khi chia hết cho.Câu 3 (3,0 điểm):1. Cho đường thẳng (là tham số) và parabol Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và . Chứng minh rằng2. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại . Tia cắt tại (khác ), tiacắt tại (khác ) và tia cắt tại ( khác ).a) Chứng minh và tứ giác nội tiếp một đường tròn.b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh và .c) Tia và tia cắt đường tròn lần lượt tại và ( khác ). Chứng minh .Câu 5 (2,0 điểm): 1. Giải phương trình2. Cho là số lẻ. Chứng minh rằng từ số nguyên bất kì có thể chọn ra được số sao cho tổng của chúng chia hếtcho . ====== Hết ====== Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:…….................... UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP THÀNH PHỐ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán lớp 9 Câu Đáp án Điểm Cho hai biểu thức với . 1.1 a. Rút gọn biểu thức . 3,0 b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để ĐKXĐ: 2,0 Vậy với thì . Lại có Nên 1,0 Mà là số nguyên thỏa mãn Vậy . Cho các số dương thỏa mãn các điều kiện và. Tính giá trị biểu1.2 2,0 thức: Xét Mà nên Khi đó ta có: 2,0 Tương tự Do đó Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả2.1 2,0 mãn: 0,5 Do là các số nguyên nên là các số chính phương không vượt quá nên 1,0 Mà là số chính phương nên Khi đó ta có , mà là số chính phương nên Với thì Với thì 0,5 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là . Cho là các số nguyên và2.2 Chứng minh rằng chia hết cho 2,0 khi và chỉ khi chia hết cho. Đặt với là các số nguyên. Khi đó ta có: 0,5 Xét Ta có chứng minh với mọi số 1,0 nguyên thì chia hết cho 30 Thật vậy: Với mọi số nguyên thì là số nguyên liên tiếp nên trong đó có một thừa số chia hết cho ; một thừa số chia hết cho; một thừa số chia hết cho mà nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia hết cho . Do đó chia hết cho . Tương tự chia hết cho , mà nên chia hết cho . Vậy với mọi số nguyên thì chia hết cho . Do đó chia hết cho với là các số nguyên. Suy ra do đó chia hết 0,5 cho khi và chỉ khi chia hết cho . Cho đường thẳng ( là tham số) và parabol Đường thẳng cắt tại hai3.1 1,5 điểm phân biệt và . Chứng minh rằng Xét phương trình hoành độ giao điểm của và Có với mọi , nên phương trình 0,5 luôn có hai nghiệm phân biệt. Vì vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt và . Theo định lý Vi-ét ta có do đó . Do đó ta cần chứng minh: 1,0 luôn đúng với mọi . Nên suy ra Cho ba số thực dương thỏa mãn .3.2 Chứng minh rằng: 1,5 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có: 1,0 . . Tương tự ta có: . Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: 0,5 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại . Tia cắt tại (khác ), tia cắt tại (khác ) và tia cắt tại ( khác ).4 a) Chứng minh và tứ giác nội 6,0 tiếp một đường tròn. b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh và . c) Tia và tia cắt đường tròn lần lượt tại và ( khác ). Chứng minh . Ta có Vì là phân giác của góc mà tại nên cân tại . 1,5 Suy ra là trung điểm của có lần lượt là trung điểm của và là đường trung bình của , suy ra .a Vì (2 góc đồng vị) Xét có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) và nên . 1,0 Suy ra . Do đó tứ giác nội tiếp một đường t ...