Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán - Sở GD&ĐT Bạc Liêu

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh của sở giáo dục và đào tạo Bạc Liêu giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán - Sở GD&ĐT Bạc LiêuHọ và tên thí sinh:……………………..………….. Chữ ký giám thị 1:Số báo danh:……………………………..………... …………….………………..SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 CHÍNH THỨC (Gồm 01 trang) * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: (5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng: a + b + c = a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 . Bài 2: (5 điểm) Cho dãy số ( un ) thỏa u1 = 3 , u2 = 5 , un+ 2 = 3un +1 − 2un (n ≥ 1). Chứng minh rằng: u2011 ≡ 3 ( mod 2011) . Bài 3: (5 điểm) Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu. Biết rằng mỗi thí sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài. Hỏi có bao nhiêu thí sinh dự thi? Bài 4: (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi: AI = α AB, AF = β AC , AK = γ AD. Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng 1 1 1 hàng là: = + (biết rằng α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 ). β α γ --- HẾT ---SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 CHÍNH THỨC (Gồm 02 trang) * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (5 điểm) Ta có a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 ⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a + b + c) ≥ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1,0đ) ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ (a2 + b2 + c2)2 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ) Do đó ta chỉ cần chứng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 Mà a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 3 a 4 .a.a = 3a2 (0,5đ) Tương tự b4 + 2b ≥ 3b2; c4 + 2c ≥ 3c2 (1,0đ) Vậy a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 3(a2 + b2 + c2) = 9 (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ) Bài 2: (5 điểm) ⎡x = 1 Xét phương trình đặc trưng x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ ⎢ ⎣x = 2 un = a + b.2 với u1 = 3 , u 2 = 5 ta được : n (2,0đ) ⎧a + 2b = 3 ⎧a = 1 ⎨ ⇔ ⎨ ⎩a + 4b = 5 ⎩b = 1 un = 1 + 2 n (1,0đ) u2011 = 1 + 22011 ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ) Bài 3: (5 điểm) Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất. (0,5đ) Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai. (0,5đ) Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba. (0,5đ) Ta cần tính A ∪ B ∪ C Áp dụng công thức: A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − A∩C + A∩ B ∩C (1,0đ) Theo giả thiết ta có: A = 25 , B = 20 , C = 14 , A ∩ B = 12 , B ∩ C = 10 , A ∩ C = 7 , A ∩ B ∩ C = 1. (1,5đ) Do đó A ∪ B ∪ C = 25 + 20 + 14 − 12 − 10 − 7 + 1 = 31 (1,0đ) Vậy số thí sinh dự thi là 31. 1 Bảng B-Ngày 1Bài 4: (5 điểm)* Ta có: KI = AI − AK = α AB − γ AD (1,0đ) KF = AF − AK = β AC − γ AD (0,5đ) Mà : AC = AB + AD ⇒ KF = β AB + ( β − γ ) AD (0,5đ) * ...