Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2012-2013 - Sở GDĐT Quảng Bình

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2012 - 2013 dành cho các bạn học sinh lớp 12 giúp các em ôn tập lại kiến thức đã học và đồng thời giáo viên cũng có thêm tư liệu tham khảo trong việc ra đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2012-2013 - Sở GDĐT Quảng Bình SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPTQUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Vòng IĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (2.5 điểm): Giải phương trình: x 4n  x 2n  2012  2012 (n  * ).Câu 2 (2.5 điểm): Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức: u1  3   1 3  un1   2un  2  ; (n  * ).  3 un  Tính: lim un ?Câu 3 (1.5 điểm): Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: 1 1 1 36    . x y z 9  x y  y 2 z 2  z 2 x2 2 2Câu 4 (2.0 điểm): Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác gócBAC . Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P,Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQvuông BC.Câu 5 (1.5 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 3  y  z . --------------------HẾT---------------------- SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang) yªu cÇu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.Câu Nội dung Điểm1 2,5 điểm Phương trình: x 4n  x 2n  2012  2012 (n  N*) (1) Đặt t = x2n  0, phương trình (1) trở thành: 0,25 t 2  t  2012  2012 1 1 0,5  t 2  t   t  2012  t  2012  4 4 2 2  1  1 0,5   t     t  2012    2  2  t  1  t  2012 0,25  t 2  t  2011  0. (2) 0,25 1  8045 Giải phương trình (2) ta được: t  thỏa mãn điều kiện 0,25 2 Phương trình có 2 nghiệm: 1  8045 1  8045 0,5 x1  2n và x 2   2n , n  *. 2 22 2,5 điểm * Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un  0; n  . 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Trang: 1 - Đáp án Toán - Vòng 1 1 3  1 3 2 3 * un1   2un  2    un  un  2   3 un . 2  3 3 ; n  . 0,5 3 un  3  un  un Do đó: un  3 3 ; n  * . ...