Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán học 12

Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán học lớp 12 để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Chúc các em thi tốt và đạt điểm cao.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán học 12 SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN Thời gian : 180 phút___________________________________________________________________________Bài 1 : (Đại số) Cho các số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x2 + y2 + xy.Bài 2 : (Lượng giác) Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg ABài 3 : (Giải tích) Dãy số  x n  được xác định như sau : xn x1  3 ; x n 1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). 2 xn  1 Chứng minh rằng dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn của nó.Bài 4 : (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC , một đường tròn bất kì qua A cắt các tia AB, AC, AM theo thứ tự tại E, F, K. Chứng minh rằng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AMBài 5 : (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD có BAC  CAD  DAB  60 0 . Chứng minh rằng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. ( Kí hiệu BAC là góc BAC ) Sở Giáo dục & Đào tạo Cà Mau KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONGTrường THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển  MÔN: TOÁN BÀI 1: (4đ) Giải phương trình: x 3  (1  x 2 )3  x 2(1  x 2 ) . BÀI 2: (4đ) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:  3  2  n  3 2  n là số nguyên dương. BÀI 3: (4đ)  Cho a1  0 . Xét dãy số (an ) cho bởi: an 1  ln(1  an ), n  . n (nan  2) 2 Chứng minh rằng: lim  . n  ln n 3 BÀI 4: (4đ) Cho tam diện vuông Oxyz và điểm A cố định nằm trong tam diện. Khoảng cách từ A đến ba mặt (Oyz), (Ozx) và (Oxy) lần lượt là a, b và c. Gọi   là mặt phẳng di động qua A cắt Ox tại M, cắt Oy tại N và cắt Oz tại P. Trong trường hợp thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất thì A là điểm gì trong tam giác MNP? BÀI 5: (4đ) Trong đường tròn có bán kính bằng 1 nội tiếp một hình vuông; trong hình vuông này lại nội tiếp một đường tròn nữa, trong đường tròn này lại nội tiếp một bát giác đều, trong bát giác đều lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp một đa giác đều 16 cạnh, cứ như thế … 2 Chứng minh bán kính của các đường tròn kể trên đều lớn hơn .  SỞ GD – ĐT KIÊN GIANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONGTRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN Thời gian : 180 phútBÀI 1: PT-BPT-3ĐTìm tất cả các số nguyên tố x,y thoả mãn phương trình: [ 1]  [ 2]  [ 3]  ...  [ x 2  1]  yBÀI 2: HÌNH HỌC PHẲNG -3Đ 2Cho hình vuông cạnh bằng 1. Có hai tam giác đều cạnh lớn hơn nằm bên trong hình 3vuông. Chứng minh rằng hai tam giác ấy có điểm chung.BÀI 3-SỐ HỌC- 3 ĐGiải phương trình nghiệm nguyên: x 2  3 y 2  4 xy  2 x  4 y  13  0 (1)BÀI 4: GIẢI TÍCH -3 Đ Dãy số un  xác định như sau : nun =  3  5  , ở đây   chỉ phần nguyên của số  (là số nguyên lớn nhất không      vượt quá  ).Chứng minh rằng n , thì un là số lẻ.BÀI 5: TỔ HỢP-3ĐCho A là tập tất cả các phần tử x   x1 , x2 ,..., x6  với x1 , x2 ,..., x6  1, 4 . Một chương trìnhmáy tính chọn ngẫu nhiên 2008 phần tử từ tập A ( các phần tử khác ...