Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh kèm đáp án

Mời các bạn học sinh hãy tham khảo 2 đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán học cấp tỉnh kèm đáp án giúp các em có thêm tư liệu để luyện tập chuẩn bị kì thi tới tốt hơn. Chúc các em thi tốt và đạt điểm cao.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh kèm đáp án Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi chính thức Đáp án Môn : TOÁNBài 1 NỘI DUNG ĐIỂM(3đ) Giải phương trình: 3 sin x  cos x 1 4 (x¡ ) Viết lại: sin 3 x  cos4 x  1  sin 3 x  cos 4 x  sin 2 x  cos 2 x 0,5  sin 2 x 1  sin x   cos 2 x 1  cos 2 x   0 (*) Chú ý: sin 2 x 1  sin x   0 và cos2 x 1  cos2 x   0 . 1 Do đó: (*)  sin 2 x 1  sin x   0 và cos2 x 1  cos2 x   0  sinx = 0 hay sinx = 1 0,5  1 Nghiệm của phương trình đã cho là : x = k  ; x = + 2k  (k Z ) 2 NỘI DUNG ĐIỂMBài 2(4đ) 2 3 Giải bất phương trình : 33xx 1  2 3x 1 (x¡ ) . 3 3 3 3 x 2 1,0 a) Ta có: 2+ 3x 1 =1+1+ 3x 1  3 3 1.1.3x 1 =3 3 (BĐT Côsi,  x  ¡ ) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1. Nhận xét x  1 là một nghiệm 0,5 Ta sẽ chứng tỏ với x  1 thì: 3 3 x  x 2 1 < 2+ 3 x 3 1 (1) 0,5 3 3 x 2 0,5 Ta có: 2+ 3x 1 > 3 3 (câu a/ và x  1 ) và: x3+2 –3(3x-x2-1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5) x3  2 0,5 3 x  x 2 1 3 Với mọi x  5 và x  1 thì 3 3 < 2 + 3x 1 3 2 3 Với x  5 thì 33 x  x 1 < 30 < 2 + 3x 1 Từ đó (1) đúng với mọi x  1. 0,5 Vậy bất phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là x = 1 . 0.5Bài 3 NỘI DUNG ĐIỂM(4đ) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực: (3 x 2  14 x  14) 2  4(3 x  7)( x  1)( x  2)( x  4)  m Đặt: f ( x)   x  1 x  2  x  4   x 3  7 x 2  14 x  8 và 1 2 g ( x )   3 x 2  14 x  14   4  3 x  7  f ( x) g(x) là đa thức bậc 4 với hệ số của x4 là -3 .Ta lập bảng biến thiên của g(x). f ( x)  3x 2  14 x  14; 2 g ( x)  2  3 x 2  14 x  14   6 x  14   12 f ( x )  4  3 x  7  f ( x)  12 f ( x) g ( x)  0  x  1; x  2; x  4. g (1)  9; g (2)  4; g (4)  36. x - 1 2 4 + g’(x) + 0 - 0 + 0 - 36 9 g(x) 4 - - Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình g ( x )  m có một số lẻ nghiệm khi 1 và chỉ khi: m  4; m  9; m  36.Bài 4 NỘI DUNG ĐIỂM(4,5đ) Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi: tgB + tgC = 2tgA . y 1 Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ : A q ...