Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2013 - 2014

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2013-2014 giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi đạt kết quả cao.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2013 - 2014SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi : 02/10/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình: 3x  2  x  1  2x 2  x  3 .  3 2 8 8  x  3x  13x  15  3  y b) Giải hệ phương trình:  y (x, y  ) .  2 2 2  y  4  5y (x  2x  2)Câu 2 (4,0 điểm).  2014  u1  2013 a) Cho dãy số (un) xác định bởi:   2u 2  n 1  u n  2u n , n  * 1 1 1 Đặt Sn   ... . Tính: limSn . u1  2 u 2  2 un  2 b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên thỏa mãn: f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y),  x, y trong đó  là số thực cho trước.Câu 3 (5,0 điểm). a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặtphẳng chứa tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T  MA.h a  MB.h b  MC.h c(với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C). b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và Glần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với Hqua G. Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC.Câu 4 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho: 3 3 2 a + 2b = c và a + 8b = c . b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãnđiều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0). Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a.Câu 5 (3,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8. Chứng minh rằng với mọi k  *, ta có: k k k a2 b2 c2 3 k1 k1  k1 k1  k1 k1  k1 .(a  b)(a2  b2 )(a4  b4 )...(a2  b2 ) (b  c)(b2  c2 )(b4  c4 )...(b2  c2 ) (c  a)(c2  a2)(c4  a4 )...(c2  a2 ) 2 ------------- Hết ------------- 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPTCâu 1. 5.0 Câu 2. 4.0 2 2014a) Giải PT: 3x  2  x  1  2x  x  3 (1) 2.5 a) u1  2 , 2u n 1  u n  2u n , n  N * 2.0 2013+ Điều kiện: x  2 (*). Khi đó: 0.25 Với mọi k  N*, ta có : 3 1 uk 1 2 2x  3    ...