Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Toán 2013 - Phần 2

Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2013 phần 2 để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề. Chúc các em thi tốt và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Toán 2013 - Phần 2 ĐỀ 31I. Đề bài :Câu I. (4điểm) Tính giá trị các biểu thức : 1 1 1 1 A= + +  ...  2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 25 24  24 25 3 B= 2  5 (6 9  4 5  3 2  5 )CâuII: (4điểm) Giải các phương trình sau. a; x + 2x2 – x -2 = 0 3 b; x24 x2  x76 x2  6CâuIII: ( 6điểm)1; Cho 2 số x, y thoả mãn đẳng thức : 1 8x2 + y2 + =4 4x 2 Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất .2; Tìm 4 số nguyên dương x,y,z,t thoả mãn. 1 1 1 1 2  2  2  2 1 x y z t3; Chứng minh bất đẳng thức : ab (a  b) 2  ab  với a > b > 0 2 8bCâu IV: ( 5đ)Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Trên cung nhỏBC lấy điểm K . AK cắt BC tại Da , Chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC .b , Chứng minh AB2 = AD.AKc , Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ BC sao cho độ dài AK là lớn nhất .d, Cho góc BAC = 300 . Tính độ dài AB theo R. Câu V: (1đ) Cho tam giác ABC , tìm điểm M bên trong tam giác sao cho diện tích các tamgiác BAM , ACM, BCM bằng nhau . (Hết)Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2011-2012 kiªn giang M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)Câu 1(4đ): Giải các hệ phương trình sau:  7 x  y  2x  y  5 a)   2x  y  x  y  1  ( x  1) y  ( y  1) x  2 xy b)   x y  1  y x  1  xy Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P   x 1 y 1 z 1Câu 3(3đ): Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn điều kiện 1 1 1   2 1 a 1 b 1 c 1Chứng minh rằng: abc  . 8Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm), C làmột điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia ACvà BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ là đường kính củađường tròn (O).Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và d là tiếp tuyến của (O) tại C.Gọi AH, BI là các đường cao của tam giác.a) Chứng minh HI // d.b) Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đường thẳng d.chứng minh rằng MN = EFCâu 6(2đ): Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chiahết cho 12 Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂMCâu Đáp án Thang điểm  7 x  y  2 x  y  5(1)  a)   2 x  y  x  y  1(2)  Đặt u = 7x  y , v = 2x  y ( u  0, v  0 ) u  v  5 0.25 Ta có  (*) 0.25 v  x  y  1 0.25 Do u2 – v2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x 0.25 Mà u + v = 5 nên u – v = x x5 5 x Do đó u = ,v= 2 2 Từ phương trình thứ hai của (*) ta được 0.25 5 x x3 y=v+x–1=  x 1  2 2 x3 Thay y = vào phương trình (2) ta được 2 0.25 x3 x3 2x   x 1 0.25 2 2 5x  3 5  x  x1  1    2 2  x2  19 0,25 1 Với x = 1 ta được y = 2; x = 19 ta được y = 11 Thử lại hệ phương trình ta được hệ có một nghiệm là (1;2) ( x  1) y  ( y  1) x  2 xy (1)  b)   x y  1  y x  1  xy (2)  Điều kiện x  1, y  1 0.25 Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cô Si ta có: x( y  1  1) xy 0.5 x ...