Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2011-2012 - THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 - THPT Chuyên Vĩnh Phúc, để quý thầy cô có thêm tư liệu tham khảo phục vụ cho quá trình ra đề thi cũng như đánh giá năng lực của học sinh, các em học sinh có thêm nguồn tư liệu ôn tập có hiệu quả hơn. Chúc quý thầy cô và các em học sinh tìm được nguồn tư liệu hay và bổ ích!

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2011-2012 - THPT Chuyên Vĩnh PhúcLuyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 điểm) (2 x  3) 4 x  1  (2 y  3) 4 y  1  2 (2 x  3)(2 y  3)   y  x  4 xy  1. Giải hệ phương trình:  2. Tìm tất cả hàm số f :  thoả mãn: f ( x  y )  f ( x)  y x, y  1 f ( x)   và f    2 x x x  0 . Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho  7 p  4 p  7q  4q  chia hết cho pq . Câu 3 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng đường  đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi I1 , I 2 và I 3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn ( I1 ) song song với CD (gần CD hơn) cắt  tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác I1 I 2 I3 . Câu 4 (2,0 điểm). Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L  a bc  3 9 4    a 2b c Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi m, n  X , m  n thì tồn tại k  X sao cho n  mk 2 . —Hết— Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 1 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai ĐÁP ÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câ Điể Ý Nội dung trình bày u m 1 1 2,0 điểm (2 x  3) 4 x  1  (2 y  3) 4 y  1  2 (2 x  3)(2 y  3)    y  x  4 xy  1 4 Điều kiện xác định: x  ; y  (2)  x  y (4 x  1)  (1) (2) 1 4 0,5 x y  4 x  1   4 y  1 thay vào (1) ta được y x x y  (2 y  3)  2 (2 x  3)(2 y  3) y x (2 x  3) Do (2 x  3) x y  (2 y  3)  2 (2 x  3)(2 x  3) y x 0,5 0,5 Suy ra (1)  x(2 x  3)  y (2 y  3)  ( x  y )(2 x  2 y  3)  0  x  y thay vào (2) ta  x  0 (lo¹i) được 2 x  x  0   x  1  y  1  2 2 2 0,5 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  . 2 2 2 1,0 điểm Ta có: f  x  y   f  x   y  f ( y )  f (0)  y y  .  f ( x )  a  x với a  f (0) . 0,25 1 1 1 f    f (0)   a  x  0. x x  x  1  f ( x ) f (0)  x a  x  2 x  0 . Mặt khác f    2  x x2 x x Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,25 Trang | 2 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai a 1 ax  2 x  0  ax 2  a x  0  a  0. x x 0,25 Vậy f ( x )  x x  . 2 0,25 2,0 điểm p , q đều khác 2 , 7 . Không mất tính tổng quát ta giả sử q  p . Khi đó từ giả thiết 0,5 ta được 7 p  4 p  p hoặc 7q  4q  p TH1. 7 p  4 p  p , theo định lí Fermat ta có: 0,5 7 p  4 p  3  mod p   3  0  mod p   p  3. TH2. 7q  4q  p , ta có  p  1, q   1  tồn tại 2 số nguyên dương u , v sao cho 1  p 1u qv   p  1 u  1  7 q  4q  mod p   7 qv  4 qv  mod p   7 1  p 1u 4  mod p  0,5  7  4  mod p   3  0  mod p   p  3. Với p  3 , từ giả thiết ban đầu ta được: 7 3  43  7q  4q  3q  9.31.  7q  4q  3q  q  3, q  31. 0,5 Vậy  p , q    3, 3 ,  31, 3 ,  3, 31 . 3 2,0 điểm A B I1 H K I3 E D L I2 C F Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn  I1  cắt BC tại K và đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một hình bình hành. Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD  HL  AD  CK  AD  BC  BK  AB  CD  BK  AB  BK  CD  AH  HK  CD  AH  LC  CD  AH  DL Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,5 0,5 Trang | 3 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( I3 )   4     Vì FD  KH ; FH  HA nên các đường phân giác HI1 của góc AHK và FI3 của góc HFD vuông góc với nhau; hay I1 H  I 2 I3 (Do F , I 2 , I 3 thẳng hàng) (1) Chứng minh tương tự, cũng được HI 3  EI 2 hay I 3 H  I1 I 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a 9 9 1 9  2 b·  6   b    3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b  3 b b 2 b 0,5 4 4 3 4  2 a·  4   a    3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  2 a a 4 a b 0,5 0,5 16 16 1  16   2 c·  8   c    2, dấu đ ...