Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 Đề ôn HSG toán 11(đề số 9) (giao đề ngày 12/01,nộp ngày 19/01/2013)Câu 1: ( 2 điểm): Cho hệ phương trình : x 1  9  y  m ( với m là tham số ) y 1  9  x  ma) Giải hệ phương trình khi m  2 5 . b) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhấtCâu 2: ( 3điểm):1, Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một chữ số lẻ. 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của ( x 2  2) nBiết An  8Cn2  Cn  49 3 1Câu 3: ( 2điểm): 3Trong mphẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A(2;-3), 2B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng (d): 3x- y - 8 = 0. Tìm toạ độ điểm CCâu 4: ( 3điểm): Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lầnlượt là trung điểm của đoạn AB và SC . a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD) b. Xác định giao điểm J = MN  (SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng 1Đáp án đề số 9Câu 1: ( 2 điểm): đây là hệ đối xứng loại 2 (bài thi vào trường chuyên tỉnh Hải Dương)a)Thay m = 2 5 ta được hệ pt : x  1  9  y  2 5 (1) y  1  9  x  2 5 (2)Điều kiện : 1  x  9;  1  y  9 . Giả sử hệ pt có nghiệm (x; y)Từ hệ pt trên  x  1  9  y  y  1  9  x (3)Giả sử x  y ta có x  1  y  1 vµ 9  y  9  x suy ra x  1  9  y  y  1  9  x mâu thuẫn với (3)Tương tự x < y cũng suy ra mâu thuẫn . Vậy x = yThay x = y vào pt (1) ta có : x  1  9  x  2 5 bình phương hai vế ta được10  2  x  1 9  x   20   x  1 9  x   5  x 2  8x  16  0  x  4 . Do đóx = y = 4. Hệ phương trình có một nghiệm : (x; y) = (4; 4).b) Theo cách chứng minh tương tự như trên ta chứng minh được : nếu hệ có nghiệm (x; y) thì x = y. y  x Khi đó hệ phương trình đã cho  (II)   x  1  9  x  m (4) Giả sử x0 là nghiệm duy nhất của phương trình (4)  x 0  1  9  x 0  m  (8  x 0 )  1  9  (8  x 0 )  m  8  x 0 cũng là nghiệm của pt (4) do tínhduy nhất  8  x 0  x 0  x 0  4  m  2 5 y  x Khi m  2 5 thay vào hệ (II) ta có   x 1  9  x  2 5 Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 4).Vậy với m  2 5 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.(Có thể xem thêm cách của bạn Mạnh)Câu 2: ( 3điểm):1)Ta kí hiệi số A là a1a2 a3a4 a5a6  Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ  Mỗi cách chọn 1 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có P6 = 6! cách sắp xếp 6 chữ số đã cho vào 6 vị trí từa1 đến a6 Như vậy có 5.P6 = 5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a1 đến a6 mà mỗi cách chỉcó một chữ số lẻ. * Trong tất cả cá cách sắp xếp đó thì những cách sắp xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí a1 không phải làmột số có 6 chữ số . 2 1* Do tính bình đẳng của các chữ số đã chọn có số cách sắp xếp không phải là số có 6 chữ sốvà 6 5.6!bằng  5.5! 6Vậy số các số có 6 chữ số mà trong đó chỉ có một số lẻ là 5.6!-5.5! = 5!( 30 - 5) = 25.5! = 3000 số (có thể làm cách khác)2) Điều kiện n  3; n  N * . n nTa có:  x 2  2    Cnk x 2k 2n k . Hệ số của x8 là Cn4 .2n 4 k 0A  8C  C  49   n  2  n  1 n  4  n  1 n  n  49  n3  7 n 2  7 n  49  0 3 n 2 n 1 n   n  7   n2  7   0  n  7Vậy hệ số của x8 là C74 .23  280Câu 3: ( 2điểm): * Ta có 1 2S 3S ABC  AB.d (C , AB )  d (C , AB )  ABC  (1) 2 AB 2  * Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương AB  (1;1)  véctơ pháp tuyến là n AB  (1;1)  AB: x-y-5=0Gọi điểm G(xG, yG) thì C( 3xG-5 ;3yG +5) 3 xG  5  3 yG  5  5 3Ta có  2 2   xG  1  3 xG  yG  8   yG  5Ta có   x  2  3 xG  3 yG  15  3   G   yG  2  Vậy có hai điểm thoả mãn C1(1;-1) , C2(-2;-10) (có thể làm nhiều cách khác nữa)Câu 4: ( 3điểm): Giải a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD )  Chọn mp phụ (SAC)  AN  Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)  ( SAC)  (SBD) = SO  Trong (SAC), gọi I = AN  SO I  AN I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD) Vậy: I = AN  ( SBD) S b. Xác định giao điểm J = MN  (SBD) 3 I N ...