Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội

Nhằm giúp các em có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi môn Toán. Mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội, để củng cố lại kiến thức môn học, rèn luyện kỹ năng giải đề và nâng cao tư duy Toán học. Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC NĂM HỌC 2020 – 2021 KHOAN-THẠCH THẤT MÔN THI: TOÁN 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm: 01 trangCâu 1. (2,5 điểm) Giải phương trình cos 2 x = 2sin 2 x + 4cos xCâu 2. (4,5 điểm)  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 a. Giải hệ phương trình :   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y 2020(2021 − x 2 ) − 2020 b. Tính giới hạn I = lim x →1 x −1Câu 3. (3,0 điểm) 15  3 a. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn  2x 2 −  9  x b. Cho một đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 ... A30 . Gọi X là tập hợp các tam giác có 3đỉnh là 3 đỉnh của ( H ) . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . Tính xác suất để chọn được 2tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác ( H ) .  7  u1 = 2Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  7 u + 4 (n   ) un+1 = n  2un + 5 u −2 a. Gọi ( vn ) là dãy số xác định bởi vn = n . Chứng minh rằng dãy số ( vn ) là một un + 1cấp số nhân lùi vô hạn. b. Tính giới hạn của dãy số ( un )Câu 5. (5,0 điểm) a. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt phẳng thay đổiqua AB và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại M , N ( M khác S , C và N khác S , D . Gọi K là AB BCgiao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức T = − có MN SKgiá trị không đổi. b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bênđều là hình vuông. Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA , A C . Tínhdiện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC . A B C bởi mặt phẳng ( MNE ) .Câu 6. (2,0 điểm) ). Cho x, y , z là 3 số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 . Tìm giá trị lớn xy yz zxnhất của biểu thức: P = + + xy + 2 z yz + 2 x zx + 2 y ------------------ Hết ------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: ………………………………….....… Số báo danh:……………SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC NĂM HỌC: 2020-2021 KHOAN MÔN: TOÁN - THẠCH THẤT - Thời gian làm bài: 150 phútCâ Nội dung Điểu m Giải phương trình sau: cos 2 x = 2sin 2 x + 4cos x1 2.5 cos 2 x = 2sin x + 4cos x 2  2cos 2 x − 1 = 2(1 − cos 2 x) + 4cos x  4cos 2 x − 4cos x − 3 = 0  3 1.5  cos x = 2  cos x = − 1  2 3 + cos x = (vô nghiệm) 2 1 2 + cos x = −  x =  + k 2 , k  1.0 2 3 2 KL: Vậy phương trình có nghiệm x =  + k 2 , k  32.a  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1) a. Giải hệ phương trình :  2.0  x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y ( 2) ĐK: x  1; y  0 (1)  xy + y 2 + x + y = x 2 − y 2  y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x − y )( x + y ) 0.5  ( x + y )( y + 1 − x + y ) = 0  x+ y =0 0.5  x = 2y +1 +) x + y = 0 (Loại do x  1; y  0 ) +) x = 2 y + 1 thế vào (2) ta được (2 y + 1) 2 y − y 2 y = 4 y + 2 − 2 y  2 y ( y + 1) = 2 y + 2 0.5  ( y + 1)( 2 y − 2) = 0  y = −1   2 y = 2  y = 2 +) Với y = −1 ( L) +) Với y = 2  x = 5 (TM ) ...