Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ" với nội dung xoay quanh kiến thức: Tìm nghiệm phương trình, chứng minh hình tam giác, giá trị biểu thức , số tự nhiên,... Mời các em tham khảo để ôn tập và củng cố kiến thức môn học, làm quen với cách thức ra đề và biết cách phân bổ thời gian hợp lý trong từng bài thi nhé!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân KỳCHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD&ĐT NGHỆ ANKỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014TRƯỜNG THPT TÂN KỲMÔN : TOÁN – KHỐI 11ĐỀ CHÍNH THỨCThời gian: 150 phútCâu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (2sin x  1)(2co s 2 x  2sin x  m)  1  2cos 2 x (Với m là thamsố)Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;  Câu 2 . (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M cos B  cosCsin B  sin Csin 2 A  sin 2 B  sin 2 Ccos 2 A  cos 2 B  cos 2CCâu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 4x 2  4 x  2   11 x 4  4Câu 4: (2 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.Chứng minh rằng:C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck5201152011520112016 .u1  22un  2012unCâu 5. (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi: un 1 2013nThành lập dãy: {Sn} xác định bởi: S n i 1www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807uiu i 1  1.n N*Tìm lim Snn Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017n 3  8n 2  1Câu 6: (2 điểm) Tìm n  Z sao cho phần nguyên củalà một số nguyên tố.3n*Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : x 2  y 2  13 , (C2) : ( x  6)2  y 2  25 .Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua Acắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c..Chứng minh rằng:1119 2 2 2 2 2a 2b 2 b c c aS(S là diện tích toàn phần của tứ diện)---------- Hết ----------www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂMCâuCâu1Lời giảiĐiểmPhương trình đã cho tương đương với : (2sin x  1)(2co s 2 x  m  1)  0Với sin x 15x x  0;  2660.51.0Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0;   thì phương trình :cos 2 x 1 m5vô nghiệm hoặc có hai nghiệm x  ; x .2661.0Từ đó ta được m 3 v m =0 .0.5a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A Câu 2cos B  cosCsin B  sin CAcos B  cosCAA sin 2ATừ sin A  2sin .cos  2cos 2  1  cos A  0 sin B  sin C22 cos A221.0Â là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.1.0sin 2 A  sin 2 B  sin 2 Csin 2 A  sin 2 B  sin 2 Cb, M  M 1 1cos 2 A  cos 2 B  cos 2Ccos 2 A  cos 2 B  cos 2C33M 1  cos 2 A  cos 2 B  cos 2C . Biến đổi về222cos A  cos B  cos CM 130M 13 3 2   cos 2 ( A  B )  4  1   0  4 1   cos ( A  B)  1 M 1 M 1 31 1  M 3M 1 4cos 2 C  cos C .cos( A  B)  1 0.50.5www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 3CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017cos 2 ( A  B)  1M 3  A  B  C  6001cos C  cos( A  B)2Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều.0.50.5Câu 3:Giải phương trình: 4x 2  4 x  2   11 x 4  4 ĐK: x  R0.54 x 2  4 x  2  11 x 4  4  2 3 x 2  2 x  2  x 2  2 x  2  11 x 2  2 x  2 x 2  2 x  2 6t 2  11t  2  0(*)Với t x 2  2x  20x 2  2x  2Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầuNên t 0.50.5x 2  2x  2x 2  2x  25 72 2 4  3 x 2  10 x  6  0  x 23x  2x  2x  2x  20.50.50.5www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 4Câu 4CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.Chứng minh rằng:5Dễ thấy 1  x  1  x 2011C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck5201152011520112016 1  x 2016; và5234M  1  x   C0  C1 x1  C5 x 2  C5 x 3  C5 x 4  C5 x 5555N  1  x 2011k2011 C0  C1 x1  ...  C2011x k  ...  C2011x 2011.2011201120160.52016 C0  C1 x  ...  Ck x k  ...  C2016 x 2016 .201620162016P  1  x Ta có hệ số của x k trong P là Ck .2016Vì P  M.N , mà số hạng chứa x k trong M.N là :0.524C0.Ck xk C1xCk1 xk1 C5x2Ck2 xk2 C3x3Ck3 xk3 C5x4Ck4 xk4 C5x5Ck5 xk55 201152011201152011201152011nên C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck52011520115201120160.50.5Tacó:Câu 522un  2012un un  2013un  un20132013u  u  1 n n un (*) ; n  N *2013u1  2  u1  u2  .........  un  un 1  ........un1 Suy ra un là dãy tăngGiả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho lim un  L ( L  2) . Từn L  1un (un  1)L( L  1)(vô lý) lim un  L L nn 20132013L  00.5(*) ta có: lim(un1 )  limn  un không bị chặn trên.www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 80710n  unSuy ra lim ...