Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao Bằng

Gửi đến các bạn học sinh Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao Bằng được TaiLieu.VN chia sẻ dưới đây nhằm giúp các em có thêm tư liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. Cùng tham khảo giải đề thi để ôn tập kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi các em nhé, chúc các em thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao Bằng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN CAO BẰNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI (Đề gồm: 01 trang)Câu 1 (4,0 điểm).Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  x3  y 3  6 x 2  13 x  y  10  3 .  2 x  x  2019 x  2020  y  3Câu 2 (4,0 điểm). u1  1; u2  9Cho dãy số  un  xác định bởi:  . un  2  10un 1  un , n  1a) Tính giá trị của A  un  2 .un  un21.b) Chứng minh rằng 6un2  2 là số chính phương.Câu 3 (4,0 điểm).a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của 62019 , luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương củamột số tự nhiên.Câu 4 (4,0 điểm).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trung điểm các cạnh AC, AB lần lượt là M và N. Đườngthẳng đi qua A lần lượt vuông góc với AC, AB cắt đường thẳng BC tại X và Y. Gọi XM  AB  P ,YN  AC  Q. Chứng minh rằng O, P, Q thẳng hàng.Câu 5 (4,0 điểm).Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: 2 f  ( x  y ) 2   x 2  2 yf ( x)   f ( y )  , x, y  . ---------- HẾT ---------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm)Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ……………................Họ tên, chữ ký của giám thị: ……………………………………………………………….................